200 занимательных логических задач

197. Из точки В надо построить окружность радиусом АВ. Затем по этой окружности следует отложить от точки А расстояние АВ три раза, в результате чего получится точка С, которая диаметрально противоположна точке А. Значит, расстояние АС есть двойное расстояние АВ. Далее надо построить окружность из точки С радиусом ВС и точно так же найти точку Д, диаметрально противоположную точке В и, следовательно, удаленную от А на тройное расстояние АВ. Таким способом можно увеличить расстояние между двумя данными точками в любое число раз с помощью одного только циркуля.

198. На первый взгляд может показаться, что кружки одинаковы по вместительности, ведь одна во столько же раз выше, во сколько другая шире. Однако в данном случае высоту и ширину нельзя столь просто сопоставлять. Вместительность кружек связана с их объемом. Объем же любого цилиндрического тела вычисляется по формуле R²h, где R – радиус основания цилиндра, а h – его высота. Если первая кружка вдвое выше другой, то ее объем будет равен R²2h. Вторая кружка, которая вдвое шире, имеет объем (2R)²h = 4R²h. Сократим выражения, обозначающие объемы кружек на R²h, тогда в первом случае получится 2, а во втором 4, т. е. вторая кружка имеет в два раза больший объем и, следовательно, в два раза вместительнее первой.

199. Секрет молниеносного умножения любого трехзначного числа на 999 очень прост: предложенное вам число надо уменьшить на единицу и приписать к нему справа три числа, которые будут «дополнениями» первых трех чисел до девятки, в результате чего получится шестизначное число. Например:

Эта особенность числа 999 заключается в том, что его можно представить как 1000 – 1:

Фокус можно разнообразить, если разложить 999 на множители:

999 = 9 x 111 = 3 x 9 x 37 = 27 x 37

Теперь вы якобы «произвольно» называете собеседнику шестизначное число (которое, конечно же, должно быть кратно 999, т. е. должно обладать вышеописанной особенностью, например, 875 124) и уверяете его, что оно поделится без остатка на 37. Он производит деление, и действительно получается без остатка. Далее вы гарантируете ему, что полученный результат будет делиться без остатка на 27. Собеседник совершает деление, которое вновь проходит без остатка. Более того, вы заранее знаете конечный результат. В данном случае вам могут заметить, что шестизначное число было вами заранее подготовлено, на что вы выражаете готовность сходу писать целые колонны произвольных шестизначных чисел (конечно же, якобы «произвольных»), которые обязательно будут делиться без остатка на 37 и на 27 (а также – на три, девять и сто одиннадцать).

200. Можно сразу предположить, что вершины дерева улитка достигнет через 15 суток. Однако такой ответ неверен. Улитка заползет на вершину дерева через 10 суток и 1 день, или через десять с половиной суток. В течение первых 10 суток после начала своего путешествия она поднимется на 10 метров, по 1 метру в сутки. В течение следующего одного дня, она преодолеет еще 5 метров, т. е. достигнет вершины дерева.

Литература

1. Вуджек Т. Тренировка ума. Упражнения для развития повышенного интеллекта. Пер. с англ. Л. Царук. Спб.: Питер Пресс, 1996.

2. Вчерашний Р.И. Пошевели мозгами! Головоломки, розыгрыши, причуды, фокусы. Кострома: «Кострома», РИО, 1999.

3. Ивин А.А. Практическая логика. Задачи и упражнения. М.: Просвещение, 1996.

4. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. М.: Наука, 1978.

5. Перельман Я.И. Живая математика. Математические рассказы и головоломки. 10-е издание. М.: Наука, 1974.

6. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. 11-е издание. М.: Наука, 1967.

7. Перельман Я.И. Занимательная арифметика. Загадки и диковинки в мире чисел. 8-е издание. М.: Изд-во Детской Литературы, 1954.

8. Перельман Я.И. Занимательная геометрия. 11-е издание. М.: Изд-во физико-математической литературы, 1959.

9. Перельман Я.И. Занимательная физика. 19-издание. Кн. 1, 2. М.: Наука, 1976.

10. Сборник упражнений по логике. Под ред. А.С. Клевчени. Минск: «Университетское», 1990.