200 занимательных логических задач

173. Примем первое из искомых чисел за х, тогда второе последовательное число будет х + 1, а третье х + 2. В этом случае квадрат среднего числа будет (х + 1)², а произведение двух остальных чисел – х(х + 2). Так как квадрат среднего числа должен быть на единицу больше двух остальных чисел, то можно составить уравнение:

(х + 1)² = х(х + 2) + 1

Преобразовав, получаем равенство:

x² + 2х + 1 = x² + 2х + 1,

которое свидетельствует о том, что оно выполняется при всех значениях х, т. е., любые три последовательных числа обладают требуемым свойством. Например, возьмем числа 2, 3, 4:

3² = 2 · 4 + 1

То же самое будет со всеми другими тремя последовательными числами.

Задачу можно решить проще, если обозначить через х не первое, а второе (среднее) из искомых чисел. Тогда первое число будет х – 1, а второе х + 1, их произведение – (х + 1) (х – 1). Квадрат среднего числа на единицу больше произведения:

х² = (х + 1)(х – 1) + 1

х² – 1 = (х + 1)(х – 1).

Получаем всем известную разность квадратов двух выражений, которая истинна при всех значениях х.

174. Если толщина мягкого слоя вишни, равна толщине косточки, которую он окружает, то диаметр вишни в три раза больше диаметра косточки (также и радиус вишни в три раза больше радиуса косточки):

Значит, объем вишни больше объема косточки в 3 · 3 · 3 = 27 раз (ведь объем шарообразных тел рассчитывается по формуле 4/3 R³). Таким образом, на долю косточки приходится 1/27 всего объема вишни, а на долю мякоти – 26/27 ее объема, т. е. мягкая часть вишни больше косточки по объему в 26 раз.

175. Рассуждение неверно. В тот момент, когда мы наблюдаем Луну или Солнце у горизонта, на восходе или закате, они не только не ближе, но, наоборот, дальше от нас (приблизительно на величину земного радиуса), чем тогда, когда находятся в зените, что хорошо поясняет следующий рисунок:

В зените мы рассматриваем светила из точки А, а у горизонта – из точек В или С. Иллюзия увеличения их размеров у горизонта связана с совершенно другими причинами.

176. Такая проверка недостаточна. Перегибая кусок материи по диагоналям, мы убеждаемся только в том, что все стороны этого четырехугольного куска материи равны между собой. Но среди выпуклых четырехугольников подобным свойством обладает не только квадрат, но и ромб, а последний является квадратом только тогда, когда его углы прямые. Для того, чтобы убедиться еще и в том, что углы при вершинах куска материи прямые, можно перегнуть его по средней линии и посмотреть, совпадают ли углы, прилежащие к одной стороне (у квадрата они совпадают, а у ромба не совпадают).

177. Единицу можно представить в виде суммы двух дробей:

Также единица может быть обозначена следующим выражением:

234567 ^{9 - 8 - 1} = 1,

т. к. любое число в нулевой степени равно единице. Наконец, в следующей записи единица выражена всеми десятью цифрами безо всяких знаков математических действий:

123456789⁰ = 1

178. Искусство «отгадывания» чисел сводится к составлению и решению простейших уравнений. Задуманное вами число собеседник обозначает как х. Далее, вы производите с этим числом какие-либо математические действия, и те же действия производит в уме с числом х ваш собеседник. Например:

Наконец, собеседник просит вас сообщить ему результат всех операций. Зная его, он быстро составляет и решает простое уравнение и «отгадывает» задуманное вами число. Допустим, результатом вышеуказанных операций было 215. Собеседнику остается решить в уме уравнение 70х + 75 = 215 (из которого 70х = 140, х = 2) и назвать задуманное число.

Фокус можно разнообразить, предложив собеседнику (теперь поменяемся с ним местами) задумать какое-либо число и, не называя его вам, вслух производить с ним те математические действия, какие он пожелает. Например, он говорит вам: «Я задумал число, прибавил к нему 2, результат умножил на 5…» и т. п. Вы же в уме проделываете те же действия с числом х. После этого, он сообщает вам результат своих операций, а вы, быстро составляя и решая в уме простое уравнение, «отгадываете» задуманное им число. (Желательно внести ограничение в совершаемые собеседником математические действия, исключив операцию деления, т. к. она значительно усложнит фокус, т. е. пусть он производит с числом только сложение, вычитание и умножение). Необходимо добавить, что в том случае, когда собеседник производит математические действия сам, может получиться, что из уравнения исчезнет х. Например, на каком-то этапе у вас получается х + 20, а собеседник говорит: «Теперь я отнимаю задуманное число». У вас получается х + 20 – х = 20. В этом случае надо попросить его не называть конечного результата всех операций, который, к удивлению собеседника, сообщаете ему вы.

179.