2000 №4

Переложите накрест концы галстука: широкий конец справа поверх узкого. Подведите его под узкий и вытяните налево. Затем протяните широкий конец через большую петлю спереди слева и вытяните его назад направо. Далее проденьте широкий конец сквозь образовавшуюся на узле петлю справа вниз. Затягивая узел, немножко поверните его вправо, придавая ему форму, и подтяните вверх.

В терминах теории Финка и Мао «косой» узел можно назвать «6,2», а алгоритм его завязывания записать так: П⁺Л^-П⁺Л^-В⁺П^-К.

Снова об игре Ландау в номера

Ни одна пристойная игра не лишена какой-то поучительности.

Николай Кузанский. «Игра в шар».

С удовольствием прочитал заметку профессора Б. Горобца (см. «Наука и жизнь» № 1, 2000 г.) о занимательной игре-головоломке, придуманной в свое время академиком Л. Д. Ландау. Напомню вкратце суть игры: требуется с помощью знаков арифметических действий и символов элементарных функций (т. е. +, -, ∙, √, sin, cos, arcsin, arctg, lg…) привести к одному и тому же значению два произвольных двузначных числа. При этом допускается использование факториала (n! = 1∙2∙…n), но не допускается использование секанса, косеканса и дифференцирования.

Например, если наудачу выбрана пара чисел 32–88 (во времена Ландау в качестве случайного датчика таких пар чисел выступали четырехзначные номера проносящихся мимо машин), то искомое равенство достигается следующим образом:

√(3–2) = log_√8 8

(или менее вычурно: 3–2 = 8:8).

Однако не все номера «решаются» так просто. В процитированной заметке автор указывает даже несколько и вовсе «неподдающихся» номеров: 59–58, 47–43, 47–97, 27–37 и 75–65 (этот номер якобы не удавалось «решить» и самому Ландау). Попутно предлагается найти какой-либо универсальный подход, единую формулу, позволяющую «решать» любую пару номеров. В заметке даже приводилась одна такая формула:

√(N — 1) = sec arctg √N,

позволяющая в результате неоднократного применения выразить любую цифру через любую меньшую. Однако в этой формуле используется «запрещенный» секанс (он не входит в школьную программу), а посему ее нельзя считать удовлетворительной.

Мне удалось найти общий метод «решения» любого номера, не выходя за рамки, очерченные в начале этой заметки. Для этого воспользуемся тождествами:

tg(arcctg х) = 1/x и cos(arctg х) = 1/√(1 + x²)

Они получаются из равенств:

tg(arcctg х) = 1/ctg(arcctg х) = 1/х

(sin arctg х/cos arctg x) = x

и sin²(arctg x) + cos²(arctg x) = 1.

Решая систему из двух последних уравнений, получим искомое тождество.

Обозначив левые части этих равенств соответственно через f₁(х) и f₂ (х), а композицию этих функций f₁(f₂ (х)) через f(х), получим:

f(N) = √(1 + N²), откуда окончательно

f(N) = √(1 + N)

(или tg arcctg cos arctg √N = √(1 + N).

Полученная формула (опять-таки при необходимости ее надо применять несколько раз) позволяет выразить любую цифру через любую большую цифру, не применяя других, что, очевидно, исчерпывает задачу Ландау-Горобца. Возьмем, к примеру, один из «неподдающихся» номеров: 59–58. Тогда решение будет таким:

5 + √9 = 5 + f(8),

где f(8) = √9 = 3.

Разумеется, приведенный универсальный метод не единственный — можно было бы придумать еще несколько подобных. Однако все они так или иначе используют тригонометрические тождества. Поэтому интересно, усложняя задачу, попытаться найти общее «решение» игры, не используя тригонометрию.

Предлагаю одну из возможностей. Коль скоро разрешается пользоваться факториалом, то почему бы не воспользоваться знаками [] и {} соответственно целой и дробной части числа (как и факториал они не входят в программу обычных школ, но широко применяются в элементарной математике и, как правило, их проходят в «продвинутых» классах и школах). Напомню, что [х] — это наибольшее целое число, не превосходящее х (например, [4,32] = 4, [-2,8] = -3 и т. д.), а {x} = х — [х] (так, {1,2} = 0,2, {-0,6} = 0,4).

Введение только этих функций сразу дает несколько тривиальных решений нашей задачи. Например, достаточно взять дробную часть от обоих двузначных чисел и в результате получить в обоих случаях ноль.

А ведь можно еще использовать известные со школьной скамьи знаки модуля, длины вектора

(скажем, |√2; √7 | = √(2 + 7) = 3)

и так далее.

С. ФЕДИН.

НА САДОВОМ УЧАСТКЕ

Из записной книжки садовода

Советы и подсказки одного из наших постоянных читателей, садовода со стажем Б. КОЛТОВОГО.

• Перед тем, как возиться с землей, поцарапайте ногтями кусочек мыла. Закончив работу, вымойте руки, и никакого «траура» под ногтями не останется.