Александр воспитывался под руководством своего дяди, графа Н. И. Панина, вместе с будущим императором Павлом I, с которым уже тогда водил тесную дружбу. (Куракин с благоговением всю жизнь хранил у себя стол, за которым провел, как он считал, лучшие годы своей жизни, обучаясь вместе с Павлом Петровичем.) Сначала мальчик получил хорошее домашнее образование, потом учился в Киле и Лейдене, позже собрал громадную домашнюю библиотеку. Он написал и издал три книги: «Precis historique de la vie du comte M. J. de Panine» (Лондон, 1784); «Описание путешествия князя A. Б. Куракина вниз по Суре» (Санкт-Петербург, 1793) и «Souvenirs d’un voyage en Hollande et en Angleterre» (Санкт-Петербург, 1815).
При Екатерине II правнук знаменитого дипломата и свояка Петра I был сослан в ссылку в свое саратовское имение Надеждино. Причиной опалы послужила обнаруженная во время путешествия секретная переписка его с флигель-адъютантом Бибиковым и симпатии к другу детства – будущему императору Павлу I.
В имении Александра Борисовича кипела бурная жизнь – большой наплыв гостей всегда был приятен князю. Многие из бедных дворян жили здесь по нескольку месяцев, не смея представиться хозяину. Но все они пользовались удобствами барской жизни: во дворе стояли наготове экипажи для прогулок, на пруду всех желающих покататься на лодках поджидали дюжие гребцы, прислуга в любой момент была готова выполнить любую прихоть гостя, столы ломились от яств и вина.
Куракин установил для многочисленных гостей семь правил, которые в виде отпечатанного листа вручались каждому, кто переступал порог гостеприимного дома князя. Первое правило гласило: «Хозяин, удаляясь от суеты и пышностей мирских, желает и надеется обрести здесь уединение совершенное, а от оного проистекающее счастливое и ничем не поколебимое спокойствие духа»; второе – «хозяин почитает хлебосольство и гостеприимство основанием взаимственного удовольствия в общежитии. Следственно, видит в оных приятные для себя должности»; третье – «всякое здесь деланное посещение хозяину будет им принято с удовольствием и признанием совершенным»; четвертое – «хозяин, наблюдая предмет и пользу своего сюда приезда, определяет в каждый день разделять свое время жалующими к нему гостями от часу пополудни до обеда, время обеда и после обеда до семи часов вечера»; пятое – «хозяин по вышеуказанному наблюдению определяет утро каждого дня от семи часов до полудни – для разных собственных его хозяйственных объездов, осмотров и упражнений, а вечер каждого дня, от семи до десяти часов, определяет он для уединенного своего чтения или письма»; шестое – «хозяин просит тех, кои могут пожаловать к нему на один или на два дня, или на многие дни, чтобы, быв в его доме, почитали себя сами хозяевами, никак не помня о нем единственно в сем качестве, приказывали его людям все подобные для них услуги и, одним словом, распоряжались бы своим временем и своими упражнениями от самого утра, как каждый привык и как каждому угодно, отнюдь не снаравливая в провождении времени самого хозяина, который через то с новою к ним благодарностью получить свою свободу им приятное безостановочно и с продолжительным тщанием выполнять»; седьмое – «хозяин никогда не ужинает, но всякий день в девять часов вечера, будет у него ужин готов для всех, прибывших к оному, и он, прося дозволения от оного всегда отлучаться, просит также своих случающихся гостей, несмотря на его отсутствие, за оный садиться и за оным самим хозяйничать». Многочисленные гости быстро привыкали к чудачествам хозяина и чувствовали себя в его имении, как дома.
Павел I по восшествии на престол пригласил друга детства в Петербург и назначил его вице-канцлером с присуждением звания тайного советника. Кроме того, Павел Петрович удостоил Александра Борисовича ордена Св. Александра Невского и ордена Св. Андрея Первозванного, а также подарил ему пять тысяч душ крепостных, 20 тысяч десятин земли в Тамбовской губернии и рыбные промыслы на Волге.
Но триумф Александра Куракина вследствие переменчивого нрава императора продолжался недолго. В 1798 году он уступил место вице-канцлера В. П. Кочубею.