5b. Электричество и магнетизм

С помощью уравнений (13.4) и (13.5) ток I может быть за­писан как r₊vA, где А — площадь поперечного сечения про­волоки. Тогда

(13.20)

Мы могли бы продолжить рассмотрение общего случая про­извольных скоростей v и v₀, но ничуть не хуже будет взять частный случай, когда скорость v₀частицы совпадает со ско­ростью v электронов проводимости. Поэтому мы запишем v=v₀ , и уравнение (13.20) приобретет вид

(13.21)

Теперь обратимся к тому, что происходит в системе S', где частица покоится и проволока бежит мимо нее (влево на фиг. 13.10, б) со скоростью v. Положительные заряды, движущие­ся вместе с проволокой, создадут около частицы некоторое маг­нитное поле В'. Но частица теперь покоится, так что магнит­ная сила на нее не действует! Если и возникает какая-то сила, то она должна появиться за счет электрического поля. Выхо­дит, что движущаяся проволока создает электрическое поле. Но она может это сделать, только если она кажется заряжен­ной; должно получаться так, чтобы нейтральная проволока с током казалась заряженной, если ее привести в движение.

Нужно в этом разобраться. Попробуем вычислить плот­ность зарядов в проволоке в системе S', пользуясь тем, что мы знаем о ней в системе S. На первый взгляд можно было бы по­думать, что плотности одинаковы, но из гл. 15 (вып. 2) мы знаем, что при переходе от одной системы к другой длины меняются, следовательно, объемы также изменятся. Поскольку плотности зарядов зависят от объема, занимаемого зарядами, плотности будут также меняться.

Прежде чем определить плотности зарядов в системе S', нужно знать, что происходит с электрическим зарядом группы электронов, когда заряды движутся. Мы знаем, что кажущаяся масса частицы приобретает множитель 1/Ц(1-v²/c²). Происходит ли что-нибудь подобное с ее зарядом? Нет! Заряды никогда не меняются независимо от того, движутся ли они или нет. Иначе мы не могли бы наблюдать на опыте сохранение полного заряда.

Возьмем кусок вещества, например проводника, и пусть он вначале незаряжен. Теперь нагреем его. Поскольку масса электронов иная, чем у протонов, скорости электронов и про­тонов изменятся по-разному. Если бы заряд частицы зависел от скорости частицы, которая его переносит, то в нагретом куске заряды электронов и протонов не были бы скомпенсированы. Кусок материала при нагревании становился бы заряженным.

Фиг. 13.11. Если распределение заряженных частиц имеет плотность зарядов р₀, то с точки зрения системы, движущейся с относительной скоростью v, плотность зарядов будет равна r=r₀/Ц (1 - v²/с²).

Мы видели раньше, что очень малое изменение заряда у каж­дого из электронов в куске привело бы к огромным электриче­ским полям. Ничего подобного никогда не наблюдалось.

Кроме того, можно заметить, что средняя скорость электро­нов в веществе зависит от его химического состава. Если бы заряд электрона менялся со скоростью, суммарный заряд в куске вещества изменялся бы в ходе химической реакции. Как и раньше, прямое вычисление показывает, что даже совсем малая зависимость заряда от скорости привела бы в простей­ших химических реакциях к огромным полям. Ничего похо­жего не наблюдалось, и мы приходим к выводу, что электриче­ский заряд отдельной частицы не зависит от состояния движе­ния или покоя.

Итак, заряд частицы q есть инвариантная скалярная вели­чина, не зависящая от системы отсчета. Это означает, что в любой системе плотность зарядов у некоторого распределения электронов просто пропорциональна числу электронов в еди­нице объема. Нам нужно только учесть тот факт, что объем может меняться из-за релятивистского сокращения расстояний.

Применим теперь эти идеи к нашей движущейся проволоке. Если взять проволоку длиной L₀, в которой плотность непод­вижных зарядов есть r₀, то в ней будет содержаться полный за­ряд Q-r₀L₀A₀. Если те же заряды движутся в другой системе со скоростью v, то они все будут находиться в куске материала

меньшей длины

(13.22)

но того же сечения A₀, поскольку размеры в направлении, пер­пендикулярном движению, не меняются (фиг. 13.11).

Если через r обозначить плотность зарядов в системе, где они движутся, то полный заряд Q будет rLA₀. Но это должно быть также равно r₀L₀А, потому что заряд в любой системе одинаков, следовательно, rL=r₀L₀, или с помощью (13.22)

(13.23)

Плотность зарядов движущейся совокупности зарядов меня­ется таким же образом, как и релятивистская масса частицы. Применим теперь этот результат к плотности положительных зарядов r₊ в нашей проволоке. Эти заряды покоятся в систе­ме S. Однако в системе S", где проволока движется со скоростью v, плотность положительных зарядов становится равной

(13.24)