5b. Электричество и магнетизм

Итак, мы знаем, что

(14.25)

где К — некоторая константа. Рассуждая точно так же, найдем

(14.26)

Хотя мы раньше говорили, что вне соленоида магнитного поля нет, теперь мы находим, что поле А существует и цир­кулирует вокруг оси z (см. фиг. 14.4). Возникает вопрос: равен ли нулю его ротор?

Очевидно, В_хи В_yравны нулю, а

Итак, магнитное поле вне очень длинного соленоида действи­тельно равно нулю, хотя векторный потенциал нулю не равен.

Мы можем проверить наш результат, прибегнув к другим соображениям. Циркуляция векторного потенциала вокруг соленоида должна равняться потоку В внутри катушки [урав­нение (14.11)]. Циркуляция равна А·2pr' или, поскольку А=К1r', она равна 2pК. Заметьте, что циркуляция не зави­сит от r'. Так и должно быть, если В вне соленоида отсутствует, потому что поток есть просто величина В внутри соленоида, умноженная на pа². Он один и тот же для всех окружностей с радиусом r'>а. Раньше мы нашли, что поле внутри равно n//e₀c², поэтому мы можем определить константу К:

или

Итак, векторный потенциал снаружи имеет величину

(14.27)

и всегда перпендикулярен вектору r'.

Мы говорили о соленоидальной катушке из проволоки, но такое же поле мы могли бы создать, вращая длинный ци­линдр с электростатическим зарядом на поверхности. Если у нас есть тонкий цилиндрический слой радиуса а с поверхност­ным зарядом s, то вращение цилиндра образует поверхностный ток J=sv, где v=sw — скорость поверхностного заряда. Внут­ри цилиндра тогда будет магнитное поле B=s_aw/e₀с².

Теперь можно поставить интересный вопрос. Предположим, что перпендикулярно к оси цилиндра мы поместили короткий отрезок проволоки W от оси до поверхности и прикрепили ее к цилиндру так, что проволока вращается вместе с ним (фиг. 14.5). Эта проволока движется в магнитном поле, так что сила vXB приведет к тому, что концы проволоки зарядятся (они будут заряжаться до тех пор, пока поле Е зарядов не урав­новесит силы vXB). Если цилиндр заряжен положительно, то конец проволоки вблизи оси будет иметь отрицательный заряд. Измеряя заряд на конце проволоки, мы могли бы опре­делить скорость вращения системы. Мы получили бы «угловой скоростемер» (или «угловой ситометр»)!

Но вы, наверно, засомневаетесь: «А что, если я сам перей­ду,— скажете вы,— в систему координат вращающегося ци­линдра? Там заряженный цилиндр покоится, а я знаю из электростатических уравнений, что внутри цилиндра никакого поля не будет, не будет и силы, толкающей заряды к центру. Поэтому здесь что-то не так?» Нет. Все правильно.

Фиг. 14.5.Вращающийся за­ряженный цилиндр создает внутри себя магнитное поле.

Короткая проволока, закрепленная вдоль радиуса, вращаясь вместе с цилиндром, приобретает на своих концах индуцированные заряды.

«Относительности враще­ния» не существует. Вра­щающаяся система — не инерциальная система, и законы физики в ней дру­гие. Мы должны пользо­ваться уравнениями элек­тромагнетизма только в инерциальных системах координат.

Было бы здорово, если бы смогли измерить абсолютное вра­щение Земли с помощью такого заряженного цилиндра, но эф­фект, к несчастью, настолько мал, что его невозможно наблю­дать даже с помощью самых тонких современных приборов.

§ 5. Поле маленькой петли; магнитный диполь

Воспользуемся методом векторного потенциала, чтобы найти магнитное поле маленькой петли с током. Как обычно, под словом «маленькая» мы просто подразумеваем, что нас интере­суют поля только на больших расстояниях по сравнению с раз­мером петли. Как мы увидим, любая петелька представляет собой «магнитный диполь». Это значит, что она создает магнитное поле, подобное электрическому полю от электриче­ского диполя.

Возьмем сначала прямоугольную петлю и выберем оси ко­ординат, как показано на фиг. 14.6. Токов в направлении z нет, поэтому A_zравно нулю. Есть токи в направлении х по обеим сторонам прямоугольника, длина которых а. В каждой стороне плотность тока и ток однородны. Поэтому решение для А_хв точности подобно электростатическому потенциалу от двух заряженных палочек (фиг. 14.7). Поскольку палочки имеют противоположные заряды, их электрический потенциал на больших расстояниях есть как раз дипольный потенциал (см. гл. 6,

§ 5). В точке Р на фиг. 14.6 потенциал равен

(14.28)

где р — дипольный момент распределения зарядов. В данном случае дипольный момент равен полному заряду на одной палочке, умноженному на расстояние между ними:

(14.29)

Дипольный момент смотрит в отрицательном направлении y, поэтому косинус угла между R и р равен —ylR (где у — координата Р). Итак, мы имеем

Заменяя l на I/с², сразу же получаем А_х:

(14.30)

С помощью тех же рассуждений:

(14.31)

Фиг. 14.7. Распределение j_x в проволочной петле о током, изо­браженной на фиг. 14.6.