6a. Электродинамика

Именно так должен преобразовываться четырехвектор. Но в уравнениях (25.14) и (25.15) знаки получились неправильными! Выход в том, что надо заменить неправильное определение четырехмерного оператора градиента (d/dt,С) правильным:

Мы его обозначим С_m . Для такого С_m трудности исчезают, и он ведет себя так, как подобает настоящему четырехвектору. (Ужасно неприятно наличие минусов, но так уж устроено в мире.) Разумеется, говоря, что С_m «ведет себя как четырехвектор», мы подразумеваем, что четырехмерный градиент ска­лярной функции есть четырехвектор. Если j — настоящее ска­лярное (лоренц-инвариантное) поле, то С_mj будет четырехвекторным полем.

Итак, все уладилось. Теперь у нас есть векторы, градиенты и скалярное произведение. Следующий на очереди — инвари­ант, аналогичный дивергенции в трехмерном векторном ана­лизе. Ясно, что аналогом его должно быть выражение С_mb_m, где b_m — векторное поле, компоненты которого являются функ­циями пространства и времени. Мы определим дивергенцию четырехвектора b_m=(b_t, b) как скалярное произведение С_m на b_m:

где С·b — обычная трехмерная дивергенция вектора b. Не забы­вайте внимательно следить за знаками. Один знак минус свя­зан с определением скалярного произведения [формула (25.7)1, а другой возникает от пространственных компонент С_m [форму­ла (25.16)]. Дивергенция, определяемая формулой (25.7), есть инвариант, и для всех систем координат, отличающихся друг от друга преобразованием Лоренца, применение ее приводит к одинаковой величине.

Остановимся теперь на физическом примере, в котором появ­ляется четырехмерная дивергенция. Ею можно воспользоваться при решении задачи о полях вокруг движущегося проводника. Мы уже видели (гл. 13, § 7, вып. 5), что плотность электрического заряда r и плотность тока j образуют четырехвектор j_m=(p, j). Если незаряженный провод переносит ток j_x, то в системе от­счета, движущейся относительно него со скоростью v (вдоль оси х), в проводнике наряду с током появится и заряд [который возникает согласно закону

преобразований Лоренца (25.1)1:

Но это как раз то, что мы нашли в гл. 13. Теперь нужно под­ставить эти источники в уравнение Максвелла в движущейся системе и найти поля.

Закон сохранения заряда в четырехмерных обозначениях тоже принимает очень простой вид. Рассмотрим четырехмерную дивергенцию вектора j_m :

(25.18)

Закон сохранения заряда утверждает, что утекание тока из еди­ницы объема должно быть равно отрицательной скорости уве­личения плотности заряда. Иными словами,

Подставляя это в (25.18), получаем очень простую форму за­кона сохранения заряда:

(25.19)

Благодаря тому, что С_mj_m — инвариант, равенство его нулю в одной системе отсчета означает равенство нулю и во всех дру­гих. Таким образом, если заряд сохраняется в одной системе, он будет сохраняться и во всех других системах координат, дви­жущихся относительно нее с постоянной скоростью.

В качестве последнего примера рассмотрим скалярное про­изведение оператора градиента С_m на себя. В трехмерном про­странстве такое произведение дает лапласиан

Что получится для четырех измерений? Вычислить это очень просто. Следуя нашему правилу скалярного произведения, на­ходим

Этот оператор, представляющий аналог трехмерного лапласиа­на, называется даламбертианом и обозначается специальным

символом

(25.20)

По построению он является скалярным оператором, т. е., если подействовать им, скажем, на четырехвекторное поле, возникает новое четырехвекторное поле. [Иногда даламбертиан определяется с противоположным по отношению к (25.20) зна­ком, так что при чтении литературы будьте внимательны!]

Итак, для большинства величин, перечисленных нами в табл. 25.1, мы нашли их четырехмерные эквиваленты. (У нас еще нет эквивалента векторного произведения, но его нахождение мы оставим до следующей главы.) А теперь соберем в одно место все важнейшие результаты и определения и составим еще одну таблицу (табл. 25.2); она поможет вам лучше запомнить, что во что переходит.

§ 4. Электродинамика в четырехмерных обозначениях

В гл. 18, § 6, мы уже сталкивались с оператором Даламбера, хотя и не знали, что он так называется. Мы нашли там дифферен­циальное уравнение для потенциалов, которое в новых обозна­чениях выглядит так:

(25.21)

С правой стороны (25.21) стоят четыре величины r, j_x, j , j_z, поделенные на e₀ — универсальную постоянную, одинаковую во всех системах координат, если во всех системах для измере­ния заряда используется одна и та же единица. Таким обра­зом, четыре величины r/jе₀, j_х/e₀, j_y/e₀, j_z/e₀ тоже преобразуются как четырехвектор. Их можно записать в виде j_z/е₀. Оператор Даламбера не изменяется при переходе к другим системам коор­динат, так что четыре величины j, А_х, А_уи A_z тоже должны преобразоваться как четырехвектор, т. е. должны быть компо­нентами четырехвектора. Короче говоря, величина