6a. Электродинамика

Поскольку последние три слагаемых в формуле (25.7) пред­ставляют просто трехмерное скалярное произведение, то часто удобнее принять такую запись:

Очевидно, что введенную выше четырехмерную длину можно записать как а_mа_m:

(25.8)

Но иногда удобно эту величину записать как а²_m:

Продемонстрируем теперь плодотворность четырехмерного скалярного произведения. Антипротоны (р') получают на боль­ших ускорителях из реакции

Иначе говоря, высокоэнергетический протон сталкивается с по­коящимся протоном (например, с помещенной в пучок водород­ной мишенью), и если падающий протон обладает достаточной энергией, то вдобавок к двум первоначальным протонам может родиться пара протон—антипротон.

Какой энергией должен обладать падающий протон, чтобы эта реакция стала энергетически возможной?

Ответ легче всего получить, рассмотрев эту реакцию в систе­ме центра масс (ц. м.) (фиг. 25.1). Назовем падающий протон протоном а, а его четырехимпульс обозначим через р^a_m. Анало­гично, протон мишени назовем b, а его четырехимпульс обозна­чим через р^b_m. Если энергии падающего протона как раз достаточ­но для реакции, то в конечном состоянии (т. е. в состоянии после соударения) образуется система, содержащая три протона и ан­типротон, покоящиеся в системе ц. м. Если энергия падающего протона будет несколько выше, то частицы в конечном состоя­нии вылетят с некоторой кинетической энергией и будут разле­таться в стороны; если же она немного ниже, то ее будет недо­статочно для образования четырех частиц.

Пусть р^с_m — полный четырехимпульс всей системы в конеч­ном состоянии, тогда, согласно закону сохранения энергии и

а комбинируя эти два выражения, можно написать

(25.9)

Теперь еще одно важное обстоятельство: поскольку мы по­лучили уравнение для четырехвекторов, то оно должно выпол­няться в любой инерциальной системе. Этим фактом можно вос­пользоваться для упрощения вычислений. Напишем длины каждой из частей (25.9), которые, разумеется, тоже должны быть равны друг другу, т. е.

(25.10)

Так как р^с_m р^с_m — инвариант, то можно вычислить его в ка­кой-то одной системе координат. В системе ц. м. временная компонента р^с_m равна энергии покоя четырех протонов, т. е. 4М, а пространственная часть р равна нулю, так что р^с_m=(4М, 0). При этом мы воспользовались равенством масс протона и антипротона, обозначив их одной буквой М.

Таким образом, уравнение (25.10) принимает вид

(25.11)

Произведения р^а_mр^а_m и p^b_mp^b_m, вычисляются очень быстро: «дли­на» четырехвектора импульса любой частицы равна просто квадрату ее массы:

Это можно доказать прямыми вычислениями или, несколько бо­лее эффектно, простым замечанием, что в системе покоя ча­стицы р_m=(М, 0), а следовательно, р_mр_m=М². А так как это инвариант, то он равен М² в любой системе отсчета. Подставляя результаты в уравнение (25.11), мы получаем

или

(25.12)

Теперь можно вычислить р^а_mр^b_mв лабораторной системе. В этой системе четырехвектор р^а_м= (Е^а, р^а), а р^b_m=(М, 0), ибо он описывает покоящийся протон. Итак, р^а_mр^b_mдолжно быть рав­но МЕ^а, а мы знаем, что скалярное произведение — это инвари­ант, поэтому оно должно быть равно значению, найденному нами в (25.12). В результате получается

Полная энергия падающего протона должна быть по мень­шей мере равна 1М (что составляет около 6,6 Гэв, так как М=938 Мэв) или после вычитания массы покоя М получаем, что кинетическая энергия должна быть равна по меньшей мере 6 М (около 5,6 Гэв). Именно с тем, чтобы иметь возможность производить антипротоны, бетатрон в Беркли проектировался на кинетическую энергию ускоренных протонов около 6.2 Гэв.

Скалярное произведение — инвариант, поэтому полезно знать его величину. Что, например, можно сказать о «длине» четырехвектора скорости u_mu_m?

т. е. u_m — единичный четырехвектор.

§ 3. Четырехмерный градиент

Следующей величиной, которую нам следует обсудить, яв­ляется четырехмерный аналог градиента. Напомним (см. гл. 14, вып. 1), что три оператора дифференцирования д/дх, д/ду, d/dz преобразуются подобно трехмерному вектору и назы­ваются градиентом. Та же схема должна работать и в четырех измерениях; по простоте вы можете подумать, что четырехмер­ным градиентом должны быть (d/dt, д/дх, д/ду d/dz), но это неверно.

Чтобы обнаружить ошибку, рассмотрим скалярную функ­цию, которая зависит только от х и t. Приращение j при малом изменении t на Dt и постоянном х равно

(25.13)

С другой стороны, с точки зрения движущегося наблюда­теля

Используя уравнение (25.1), мы можем выразить Dх' и Dt' через Dt. Вспоминая теперь, что величина х постоянна, так

что Dx=0, мы пишем

Таким образом,

Сравнивая этот результат с (25.13), мы узнаем, что

(25.14)

Аналогичные вычисления дают

(25.15)

Теперь вы видите, что градиент получился довольно странным. Выражения для х и t через х' и t' [полученные решением уравнений (25.1)] имеют вид