8a. Квантовая механика I

Вспомните, что в предыдущей главе мы смогли описать га­мильтониан отдельной частицы со спином ¹/₂, применив сигма-матрицы или в точности эквивалентные им сигма-операторы. Свойства операторов сведены в табл. 10.1. Эти операторы, являю­щиеся просто удобным, кратким способом запоминания матрич­ных элементов типа <+|s_z|+> были полезны для описания поведения отдельной частицы со спином ¹/₂. Возникает вопрос, можно ли отыскать аналогичное средство для описания системы с двумя спинами. Да, и очень просто. Вот смотрите. Мы изобре­тем вещь, которую назовем «электрон-сигма» и которую будем представлять векторным оператором s^e с тремя компонентами s^e_x, s^e_y и s^e_z. Дальше условимся, что когда одна из них действует

Таблица 10.1 · СВОЙСТВА СИГМА-ОПЕРАТОРОВ

на какое-то из наших четырех базисных состояний атома водо­рода, то она действует на один только спин электрона, причем гак, как если бы электрон был один, сам по себе. Пример: чему равно s_y^е|-+>? Поскольку s_y , действующее на электрон со спином вниз, дает -i, умноженное на состояние с электроном, у которого спин вверх, то

s^e_y|-+>=-i|++>.

(Когда s_y^е действует на комбинированное состояние, оно пе­реворачивает электрон, не затрагивая протон, и умножает результат на -i.) Действуя на другие состояния, s^е_удаст

Напомним еще раз, что оператор s^е действует только на первый спиновый символ, т. е. на спин электрона.

Теперь определим соответствующий оператор «протон-сиг­ма» для спина протона. Три его компоненты s^p_x, s^py, s^p_z, действуют так же, как и s^е, но только на протонный спин. Например, если s^p_xбудет действовать на каждое из четырех базисных со­стояний, то получится (опять с помощью табл. 10.1)

Как видите, ничего трудного. В общем случае могут встретиться вещи и посложнее. Например, произведение операторов s^e_ys^p_z. Когда имеется такое произведение, то сначала делается то, что хочет правый оператор, а потом — чего требует левый. Например,

Заметьте, что эти операторы с числами ничего не делают; мы использовали это, когда писали s^e_x(-1)=(-1) s^e_x . Мы говорим, что операторы «коммутируют» с числами или что числа «можно протащить» через оператор. Попрактикуйтесь и покажите, что произведение s^е_хs^p_z дает для четырех состояний следующий результат:

Если перебрать все допустимые операторы, каждый по разу, то всего может быть 16 возможностей. Да, шестнадцать, если включить еще «единичный оператор» 1. Во-первых, есть тройка s^е_х, s^е_y, s^е_z, затем тройка s^p_x, s^p_y, s^p_z, итого шесть. Кроме того, имеет­ся девять произведений вида s^е_хs^p_y, итого 15. И еще единичный оператор, оставляющий все состояния нетронутыми. Вот и все шестнадцать!

Заметьте теперь, что для системы с четырьмя состояниями матрица Гамильтона должна представлять собой матрицу коэф­фициентов 4x4, в ней будет 16 чисел. Легко показать, что всякая матрица 4X4, и в частности матрица Гамильтона, может быть записана в виде линейной комбинации шестнадцати двой­ных спиновых матриц, соответствующих системе операторов, которые мы только что составили. Поэтому для взаимодействия между протоном и электроном, в которое входят только их спины, мы можем ожидать, что оператор Гамильтона может быть записан в виде линейной комбинации тех же 16 операторов. Вопрос только в том, как.

Но, во-первых, мы знаем, что взаимодействие не зависит от нашего выбора осей для системы координат. Если нет внеш­него возмущения — чего-то вроде магнитного поля, выделяю­щего какое-то направление в пространстве,— то гамильтониан не может зависеть от нашего выбора направлений осей х, у и z. Это означает, что в гамильтониане не может быть таких членов, как s^e_x сам по себе. Это выглядело бы нелепо, потому что кто-нибудь в другой системе координат пришел бы к другим резуль­татам.

Единственно возможны только член с единичной матрицей, скажем постоянная а (умноженная на 1^), и некоторая комбина­ция сигм, которая не зависит от координат, некоторая «инва­риантная» комбинация. Единственная скалярная инвариантная комбинация из двух векторов — это их скалярное произведе­ние, имеющее для наших сигм вид

Этот оператор инвариантен по отношению к любому повороту системы координат. Итак, единственная возможность для га­мильтониана с подходящей симметрией в пространстве — это постоянная, умноженная на единичную матрицу, плюс постоян­ная, умноженная на это скалярное произведение, т. е.

Это и есть наш гамильтониан. Это единственное, чему, исходя из симметрии в пространстве, он может равняться, пока нет внешнего поля. Постоянный член нам многого не сообщит; он просто зависит от уровня, который мы выбрали для отсчета энергий. С равным успехом можно было принять Е₀=0.А второй член поведает нам обо всем, что нужно для того, чтобы найти расщепление уровней в водороде.