А ну-ка, догадайся!

В скобках стоит сумма первых k членов так называемого гармонического ряда. Заметим, что сумма членов, заключенных между 1/2 и 1/4, включая 1/4, то есть 1/3 + 1/4 больше, чем 2 х 1/4 = 1/2. Аналогично сумма членов, заключенных между 1/4 и 1/8, включая 1/8, то есть 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8, больше, чем 4 х 1/8 = 1/2. Следовательно, сумма членов ряда, заключенных между 1/1 и 1/2^k, включая 1/2^k, всегда больше, чем k x 1/2 = k/2 в чем нетрудно убедиться, если члены сгруппировать: возьмите сначала сумму двух первых членов, затем сумму следующих восьми членов и т. д.

Частная сумма членов гармонического ряда может быть сделана сколь угодно большой.

Червяк доползет до конца каната, прежде чем с момента старта истекут 2^{200 000} с. Более точная оценка составляет е¹⁰⁰⁰⁰⁰, где е — основание натуральных логарифмов (иррациональное число, чуть большее числа 2,7). Обе оценки дают представление о времени в пути (в с) и о пройденном червяком расстояния (в см).

Точная формула частичной суммы членов гармонического ряда приведена, например, в статье Р. П. Боаса и Дж. М. Ренча «Частичные суммы гармонического ряда»[24]. Когда червяк доползет до конца, длина каната будет во много раз превышать диаметр известной части Вселенной. На свой нелегкий путь червяк затратит время, которое во много раз превышает возраст Вселенной по оценкам современной космологии.

Разумеется, в задаче речь идет об «идеализированном» червяке и «идеализированном» канате — точке на прямой. Реальный червяк тихо скончался бы в самом начале путешествия, а реальный канат от растяжения стал бы таким тонким, что отдельные его молекулы оказались бы разделенными огромными пустыми промежутками.

Независимо от параметров задачи (начальной длины канала, скорости червяка, длины отрезка, на который увеличивается с каждой секундой длина каната) червяк всегда доползает до конца за конечное (хотя и очень большое) время. Интересные задачи возникают, если мы будем по-разному удлинять канат.

Например, что произойдет, если длина каната будет возрастать в геометрической прогрессии, скажем удваиваться в каждую секунду? В этом случае червяк никогда не достигнет конца каната.

Сверхзадачи

_{Современные философы оживленно обсуждают новый класс парадоксов времени — так называемые сверхзадачи. В одном из простейших парадоксов этой серии речь идет о лампе. Нажимая на кнопку, ее можно включать и выключать.}

_{В течение 1 мин лампа включена, в течение следующей 1/2 мин — выключена, затем 1/4 мин лампа снова включена, после чего в течение 1/8 мин снова выключена и т. д. Вся серия включений и выключений длится равно 2 мин.}

_{Будет ли лампа по истечении 2 мин включена или выключена?}

_{Каждое нечетное нажатие кнопки включает лампу, каждое четное — выключает ее. Если по истечении 2 мин лампа включена, то это означает, что последнее число нечетное. Если же по истечении 2 мин лампа выключена, то последнее число четное. Но последнего натурального числа не существует.}

_{Лампа должна быть либо включена, либо выключена, но узнать, будет ли она включена или выключена, невозможно никаким способом!}

Парадоксы с «сверхзадачами», выполняемыми так называемыми «машинами бесконечности», и поныне волнуют специалистов по математической логике и философов. Парадокс с лампой известен под названием «лампа Томсона» — в честь впервые написавшего о нем Джеймса Ф. Томсона. Всякий согласится, что лампу Томсона нельзя построить реально, но дело не в этом. Главное в том, что если принять некоторые допущения, то лампа Томсона не приводит к логическим противоречиям. По мнению одних, лампа Томсона — вполне разумный «мысленный эксперимент», по мнению других, — вопиющая нелепость.