Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Похожую систему использовали и древние греки — у них альфа (α) обозначала единицу, бета (β) — двойку и т. д. до 27-й буквы имевшегося в их распоряжении алфавита, сампи (ϡ), которая обозначала число 900. Греческой математической культуре — самой развитой в Древнем мире — не была свойственна жажда индусов к овладению колоссальными числами. Названием для самого большого из чисел, имевшихся в распоряжении древних греков, было слово «мириада», означавшее десять тысяч, что записывалось как заглавная буква М.

В основе римских числительных также лежал алфавит, хотя римская система имела более древние корни, чем даже греческая или еврейская. Символ для единицы выглядел как I — возможно, происходил он из засечки на счетной палочке. Пять обозначалось как V — возможно, из-за схожести с тем, как выглядит рука. Другие числа выглядели как X, L, С, D, M и соответственно обозначали 10, 50, 100, 500, 1000. Все остальные числа строились с использованием этих семи заглавных букв. Использование всего лишь семи символов в сравнении с 22 из иврита и 27 из греческого алфавита делало римскую систему более удобной, вот почему она оставалась основной числовой системой в Европе на протяжении более тысячи лет.

Тем не менее римские числительные очень плохо приспособлены к нуждам арифметики. Давайте попробуем вычислить 57 × 43. Лучшим способом решить эту задачу является хитроумный, но медленный метод, получивший название египетского или крестьянского умножения, поскольку возник он в Древнем Египте.

Для начала разложим одно из чисел, подлежащих умножению, по степеням двойки (эти степени, напомним, равны 1, 2, 4, 8, 16, 32 и т. д., где каждый раз происходит удвоение), а затем составим таблицу удвоений другого числа. В нашем примере — (57 × 43) — надо разложить число 57 и выписать таблицу удвоений числа 43. Я буду использовать арабские числительные, чтобы продемонстрировать, как это делается, но процесс остается тем же самым и при использовании римских числительных.

Разложение: 57 = 32 +16 + 8 +1.

Таблица удвоений:

1 × 43 = 43

2 × 43 = 86

4 × 43 = 172

8 × 43 = 344

16 × 43 = 688

32 × 43 = 1376

Умножение 57 × 43 эквивалентно сложению результатов из правого столбца в таблице удвоений, которые отвечают степеням двойки в разложении. Это, возможно, звучит не слишком понятно, но в действительности оказывается не так уж сложно. Наше разложение содержит в себе числа 32, 16, 8 и 1. В таблице 32 отвечает числу 1376, 16 — числу 688, 8 — числу 344, а 1 — числу 43. Таким образом, результат нашего умножения равен 1376 + 688 + 344 + 43, что дает 2451.

Если разбивать вычисления на удобоваримые кусочки, сводящиеся только к удвоению и сложению, то римские числительные оказываются вещью вполне пригодной. И тем не менее нам пришлось выполнить работы куда больше, чем это на самом деле нужно.

Сравним приведенное вычисление с умножением столбиком, которое все мы изучали:

Имеется очень простая причина, по которой наш метод и проще, и быстрее. Дело в том, что ни римляне, ни греки, ни евреи не изобрели символа для нуля. А когда дело доходит до вычислений, то именно 0, то есть ничто, становится невероятно важным и меняет все кардинальным образом.

* * *

Веды, священные индуистские тексты, передавались из поколения в поколение из уст в уста, пока наконец их не перевели на санскрит около двух тысяч лет назад. В одном ведическом пассаже о построении алтарей перечисляются следующие слова, обозначающие числа:

Даса	10	Арбуда	10 000 000
Сата	100	Ньярбуда	100 000 000
Сахастра	1000	Самудра	1 000 000 000
Аюта	10 000	Мадхья	10 000 000 000
Ньюта	100 000	Анта	100 000 000 000
Праюта	1 000 000	Парардха	1 000 000 000 000

При наличии названий для каждого числа, кратного десяти, удается эффективно описать большие числа, из чего астрономы и астрологи (и, надо полагать, строители алтарей) почерпнули подходящий к своим задачам лексикон для огромных величин, требуемых в их вычислениях. В этом одна из причин, по которым индийская астрономия опережала свое время. Возьмем число 422 396. Индусы начинали с самой младшей цифры — той, что справа, — и последовательно описывали число, переходя справа налево: «шесть и девять дасы и три сахастры и две аюты и две ньюты и четыре праюты». Не так уж сложно осознать, что при этом можно не указывать степени десятки, потому что значение числа в списке определяется его положением. Другими словами, приведенное выше число можно было бы записать и просто как «шесть, девять, три, два, два, четыре».