Алгоритмы развития

Вариационная формулировка законов сохранения – это одно из главных эмпирических обобщений физики. Однако законы сохранения не исчерпывают всех принципов отбора, которые выделяют реальные движения из множества мыслимых. Вместе с тем оказывается, что и другим законам и ограничениям всегда можно придать оптимизационную формулировку. Особенно просто это сделать, если использовать способы описания, принятые в теории исследования операций¹². Пусть, например, движение материальной субстанции ограничено кинематическим условием непроницаемости преграды:

(v_n) г = 0,

где v_n – скорость частиц субстанции, перпендикулярная Г – некоторой поверхности, ограничивающей область пространства, допустимую для движения. Это условие можно переписать в следующем виде:

w(x) =» min,

где w(x) есть некоторый функционал, зависящий от фазовых переменных х. Его можно задать, например, в такой форме:

Переформулировка ограничения в вариационной форме, т. е. в форме требования экстремума для некоторого функционала, может быть произведена бесчисленным количеством способов.

К числу принципов отбора, допускающих оптимизационную постановку, относятся также принципы Онсагера и Пригожина.

Таким образом, движение неживой материи мы всегда можем описать в терминах многокритериальной задачи оптимизации:

где w₁ – это функционал, минимизация которого обеспечивает выполнение законов сохранения, w₂ – функционал, минимизация которого обеспечивает выполнение кинематических условий, и т. д.

Из математического анализа известно, что одновременная минимизация нескольких функций (или функционалов) имеет смысл лишь при выполнении некоторых специальных условий. Обозначим через ₁ множество экстремальных значений функционала w₁. Тогда задача w₂ => min будет иметь смысл, если мы будем, например, разыскивать минимальное значение функционала w₂ на множестве ₁ и т. д. Таким образом, множество функционалов должно быть упорядоченным, а пересечение множеств _i, минимальных значений функционалов w_i – непустым. Тогда требование (+) определит некоторое множество допустимых состояний w. Это множество и является ареной развивающихся событий.

При описании явлений неживой природы функционалы w_i действительно всегда ранжированы, причем первое место принадлежит законам сохранения. Различные связи – голономные, неголономные – и любые другие ограничения имеет смысл рассматривать лишь для тех систем, для которых выполнены законы сохранения. Среди всех таких ограничений особое место для открытых систем занимает принцип минимума роста энтропии (минимума диссипации энергии). Он как бы замыкает цепочку принципов отбора: если законы сохранения, кинематические и прочие ограничения еще не выделяют единственной траектории развития системы, то заключительный отбор производит принцип минимума диссипации. Вероятно, именно он играет решающую роль в появлении более или менее устойчивых неравновесных структур.

В рамках описанной схемы можно дать следующую интерпретацию процессов, протекающих в неживой природе. Тенденции к разрушению организации и развитию хаоса, т. е. повышению энтропии, противостоит ряд противоположных тенденций. Это прежде всего законы сохранения. Но не они одни препятствуют разрушению организации. Принцип минимума диссипации энергии не только отбирает из тех движений, которые допускаются законами физики (т. е. им не противоречат), «наиболее экономные», но и служит основой «метаболизма», т. е. содействует процессу возникновения структур, способных концентрировать окружающую материальную субстанцию, понижая тем самым локальную энтропию. Так, в стохастической среде, способной порождать явления типа «странного аттрактора», когда исходные малые различия состояний могут породить в последующем сколь угодно большие различия, в пространстве состояний возникают области, отвечающие локальным минимумам функционала w₃, характеризующего рост энтропии. Эти области возможных состояний оказываются «областями притяжения», в которых складываются условия для возникновения локальных структур, чья квазиустойчивость определяется их способностью использовать энергию и вещество из окружающего пространства. Указанные выше локальные минимумы и определяют те «каналы эволюции», о которых уже шла речь.

Картина, описанная для процессов, протекающих в «косном» веществе, принципиально усложняется на уровне живой природы, ибо здесь появляется тенденция (несводимая к законам физики) к самосохранению, т. е. стремление сохранить гомеостазис. Эта тенденция также может быть формализована совокупностью условий, каждое из которых допускает вариационную форму: