Алиса в стране математики

Если можно обойти все семь мостов, пройдя по каждому из них только один раз, то и наш новый за́мок тоже можно обойти, проходя один раз каждую из семи стен. Однако посмотрите — ни одна из четырёх башен не может быть в середине обхода, потому что в любой башне нашего «кёнигсбергского за́мка» сходится нечётное число стен! И поэтому обойти его, проходя один раз по каждой стене, невозможно (так же, как и новый королевский за́мок Королевы Червей). Обойти за́мок можно только в том случае, когда башен с нечётным числом стен не больше двух — тогда одна из «нечётных» башен должна быть началом обхода, а вторая — его концом. (Если все башни «чётные», то начать обход можно из любой башни. Тогда в этой же башне обход и закончится.)

Задачу о кёнигсбергских мостах первым решил Эйлер в 1736 году. Эйлер был великим математиком и поэтому не ограничился только кёнигсбергскими мостами — он решил задачу в общем виде, то есть для любого числа мостов, которые как угодно соединяют берега и любое число островов! И теперь даже житель Санкт-Петербурга может определить, удастся ли ему прогуляться по трёмстам мостам своего города, соединяющим сорок два острова, причём прогуляться так, чтобы пройти по каждому мосту только один раз.

Мы не случайно вспомнили о Санкт-Петербурге: в этом городе Эйлер провёл большую часть жизни, здесь же написал он и свою знаменитую работу о кёнигсбергских мостах. Работы Эйлера рождали порой новые области математики. Так произошло и с работой о кёнигсбергских мостах: с неё берёт начало топология — раздел математики, в котором изучаются самые общие свойства геометрических тел и фигур.

Что это за свойства? Представим себе, что у нас в руках кусок пластилина, и нам разрешается делать с ним, что угодно, но только не разрывать и не слеплять.

Пусть, например, кусок пластилина имеет сначала форму стакана. Мы можем превратить «стакан» в «ложку», нигде не разрывая и не слепляя пластилин:

А вот превратить пластилиновый стакан в чашку с ручкой не удастся: ведь для ручки надо сделать дырку, то есть разорвать пластилин в каком-то месте, а мы условились, что разрывать и слеплять нельзя! Зато пластилиновую чашку можно превратить в бублик:

С точки зрения топологии стакан и ложка — это одно и то же, а чашка или бублик — совсем другое (однако чашка и бублик — тоже одно и то же!).

Далеко не всегда очевидно, что две фигуры «топологически одинаковы» — например, трудно поверить, что одну из этих пластилиновых «ручек» можно без разрывов и склеек превратить в другую, не снимая со стержня:

Однако вот промежуточные стадии такого превращения:

Задачи о кёнигсбергских мостах и о новом королевском за́мке — это настоящие топологические задачи: действительно, можно как угодно размещать башни и соединять их стенами любой формы, но пока мы не «разрываем» стен и не «склеиваем» их, задача остаётся той же самой!

Некоторые фигуры имеют настолько необычные топологические свойства, что перестаёшь верить собственным глазам. Одну из таких фигур обнаружил в середине XIX века немецкий учёный Мёбиус. Вы легко можете сами сделать «лист Мёбиуса» — возьмите полоску бумаги и склейте её в кольцо, повернув перед склеиванием на пол-оборота:

Чтобы убедиться в необычных свойствах листа Мёбиуса, попробуйте для начала покрасить его с одной стороны. Вы обнаружите, что карандаш или кисточка окрасят лист полностью! Но так и должно быть — дело в том, что у листа Мёбиуса, в отличие от «обычных» поверхностей (то есть таких, к которым мы привыкли), не две стороны, а только одна!

А теперь попробуйте угадать, что получится, если разрезать лист Мёбиуса вдоль кольца посередине. Распадется ли он, например, на два кольца? Берите ножницы и режьте! Интересно, поверите ли вы своим глазам?

НЕБЫЛИЦА ОБ ЭЙЛЕРЕ, КОТОРЫЙ РАЗГАДАЛ ЗАГАДКУ КЁНИГСБЕРГСКИХ МОСТОВ, ГУЛЯЯ ПО ПЕТЕРБУРГСКИМ

Когда скучно и грустно
И не хочется спать,
По мостам петербургским
Ходит Эйлер гулять.

Он обходит неспешно

Много длинных мостов,
Сладкой спелой черешней
Кормит каменных львов.

Львы его в благодарность

Нежно в ухо лизнут
И за Эйлером следом
По мостам побредут.

Каждый мост он проходит

Лишь один раз всего,
И мосты не разводят,
Ожидая его.

КОРОЛЕВСКАЯ ЛОГИКА

— А где же зал суда? — спросила Алиса: она читала в книжках, что суд происходит всегда в «зале суда».

— Залом будет этот двор, — показала Королева на один из трёх дворов за́мка.

Гости стали садиться прямо на траву, а для Короля и Королевы вынесли трон. Возле трона сразу же столпились какие-то карты и зверушки.