Алиса в стране математики

Человек начал думать с тех пор, как он стал человеком (по-латыни он так и называется — homo sapiens, то есть «человек разумный»). Однако десятки тысяч лет человек думал, совершенно не задумываясь о том, как он думает. И делал из-за этого много ошибок.

Первыми задались вопросом «что такое рассуждение?» древние греки. Они сделали величайшее открытие: рассуждение — это способ получения новых знаний.

Помните прославленный «дедуктивный метод» Шерлока Холмса?

— Я могу распутать преступление, даже не выходя из своей комнаты, — говаривал знаменитый сыщик удивлённому доктору Ватсону и погружался в глубокое раздумье.

Это раздумье и есть способ получения новых знаний! Такие знания называются «умозаключения», то есть заключения (выводы), полученные с помощью ума (рассуждения)

Получать новые знания с помощью рассуждений можно не только распутывая преступления — мы занимаемся этим, решая любую задачу, когда ответ её нам неизвестен: ведь этот ответ и есть новое для нас знание!

Бо́льшая часть знаний, которыми обладает человечество, получены с помощью умозаключений — ведь и то, что люди узнали опытным путем, они тоже должны были осмыслить

Но откуда берётся уверенность, что рассуждение правильно? Всегда ли можно доверять новому знанию, полученному посредством умозаключений?

Размышляя над этими вопросами, древнегреческий учёный Аристотель открыл законы мышления — правила, пользуясь которыми можно делать правильные умозаключения. Наука о законах мышления называется логикой от греческого слова «логос», что означает «мысль». Логикой Аристотеля мы пользуемся до сих пор.

Науку о мышлении Аристотель создавал не на пустом месте — у него были великие предшественники. С некоторыми из них мы уже знакомы. Так, Фалес, первый математик в истории, высказал идею доказательства, а доказательство — это как раз и есть установление правильности рассуждения. Строгих доказательств от своих учеников требовал и учитель Аристотеля Платон, который, в свою очередь, был учеником Сократа. Сократ учил рассуждать не только в математике, но и в жизни, причем учил очень интересным методом: он задавал вопросы, которые будили мысль у его собеседника — этот замечательный метод так и называется «сократовским». Сам Сократ был настолько мудр, что учился у каждого, кто мог сообщить ему что-то для него новое.

Особенность математики состоит в том, что правильность новых знаний можно установить только с помощью рассуждений — их невозможно проверить на опыте!

Объясним это на примере. Возьмём линейку, начертим на бумаге несколько разных треугольников и вырежем их. А затем обрежем у них углы — вот так:

Приложим теперь эти углы друг к другу. Мы обнаружим, что у всех наших треугольников сумма углов одна и та же — она равна как раз развёрнутому углу:

Мы получили новое знание: «у некоторых треугольников сумма углов равна развернутому углу». Это знание получено опытным путём. Но поскольку мы брали разные треугольники, у нас возникает догадка: может быть, у всех треугольников сумма углов равна развёрнутому углу?

Мы испытываем нашу догадку на десяти, ста, тысяче треугольниках и с радостью обнаруживаем, что она подтверждается! Однако можно ли считать, что мы её доказали? Нет, нельзя — ведь в нашей догадке речь идёт о всех треугольниках, а их бесконечно много! Там же, где появляется бесконечность, опыт бессилен (это слова французского математика Пуанкаре).

Поэтому здесь требуется математическое доказательство: можно доказать, что сумма углов у всех треугольников равна развёрнутому углу, если... Вот это «если» и есть самое главное!

На что должно опираться математическое доказательство? Прежде всего, конечно, на уже доказанные утверждения (как мы помним, они называются «теоремами»). Но, оказывается, при этом возникает новая бесконечность, очень похожая на бесконечную цепочку вопросов «почему?» в беседе с четырёхлетним homo sapiens: вы отвечаете малышу на первый вопрос, но ваш ответ сразу же рождает у него второе «почему?», и ... новый ответ будет рождать новый вопрос без конца!

Учёные по своей любознательности почти не уступают четырёхлетним малышам, и поэтому они тоже столкнулись с бесконечной цепочкой вопросов и ответов — было это ещё в Древней Греции. И тогда стало ясно, что для того, чтобы можно было что-то доказать, какие-то утверждения придётся принять без доказательств, например: «через две точки проходит одна и только одна прямая». Такие утверждения греки назвали аксиомами, что в переводе с греческого означает «достойные почестей».

Главное требование к аксиомам состоит в том, чтобы они не противоречили друг другу (иначе получится так, как с «королевскими законами», которые придумывала Королева Червей). Непротиворечивость аксиом далеко не всегда очевидна: даже очень «правдоподобные» аксиомы могут противоречить друг другу! Вот известный шуточный пример. Возьмём три «аксиомы»:

1. Чем больше учишь, тем больше знаешь.