Ампер. Классическая электродинамика

Наконец ценой неимоверных усилий желание Ампера осуществилось: в апреле 1803 года его назначили профессором лионского лицея. А через несколько месяцев, в июле, Жюли умерла. В последние два года она страдала от жутких болей, но не прекращала заботиться о муже, сыне и семье. Без сомнения, именно она вдохновила первую математическую публикацию основателя электродинамики.

ПЕРВЫЕ НАУЧНЫЕ РАБОТЫ

Большую часть 1802 года Андре-Мари посвятил работе над «Соображениями о математической теории игры». Публикация этого труда имела целью впечатлить экзаменационную комиссию лионского лицея, чтобы Ампер смог получить новую должность и переехать к семье. Идея исследования пришла ему в голову во время настольной игры в Полемье за много лет до этого, о чем свидетельствует и письмо к его другу Куппье.

Исследуемая проблема формулировалась следующим образом: какова вероятность того, что игрок потеряет все состояние во время серии игр? Работа начинается с ввода переменных и условий. Рассматривается игрок, который в каждой партии ставит определенную часть своего состояния. Если игрок разделит свое состояние на m частей, в самом худшем варианте он потеряет все по ходу игры; это произойдет через m партий. Однако он может выиграть p раз, и в этом случае проиграет после m + p партий.

Представим теперь, что q выражает отношение между вероятностью выигрыша и проигрыша. Заметим, что q зависит от типа игры. Например, при подбрасывании монетки речь пойдет о соотношении 1/1, поскольку вероятность выигрыша равна вероятности проигрыша. Однако при бросании шестигранной кости значение q будет выражаться 1/5 (возможен выигрыш в одном случае и проигрыш в пяти других). Исходя из этих определений вероятность того, что игрок проиграет все свое состояние, одержав p побед и проиграв m + p раз, будет равна

m!(m + 2p - 1)!/(р!(m + p)!) q^P (1 + q)^-(m+2p).

Исход игры не в пользу игрока, если, в частности, q < 1, то есть если вероятность выигрыша меньше вероятности проигрыша.

Для ясности мы можем рассмотреть ситуацию с шестигранной костью. Предположим, что у игрока есть один евро, в случае выигрыша он получает еще один евро, а в случае проигрыша теряет свои деньги. Вероятность успеха (А) равна 1/6, вероятность проигрыша (F) — 5/6. Таким образом, существует бесконечное количество вариантов, выраженных в древовидной схеме, которые приводят к проигрышу игрока (см. рисунок). Однако в этой схеме есть нечто особое: она имеет неравномерную структуру. Некоторые ее ветки не имеют продолжения — в случаях когда игрок все проигрывает.

Представленное на рисунке дерево упрощает понимание вариантов, поскольку каждый уровень обозначает новую партию. Таким образом мы можем проанализировать возникающие после каждой партии возможности и увидеть, что развитие ситуации становится все более сложным.

Партия 1: начальная ставка 1 евро.

F (игрок теряет евро и заканчивает партию, вероятность 5/6, то есть 83, 3 %).

А (игрок выигрывает евро, теперь у него есть 2 евро, вероятность 1/6, или 16, 7%).

Конец игры: 83, 3%.

Продолжение игры: 16, 7 %.

На ветках с 0 евро дерево завершается, поскольку игрок теряет все.

Партия 2: начальная ставка 2 евро, вне зависимости от выигрыша или проигрыша, игрок может продолжить партию.

AF(игрок теряет 1 евро, у него остается 1 евро, вероятность 5/6², то есть 13, 9%).

АА (игрок выигрывает 1 евро, теперь у него есть 3 евро, вероятность 1/6², то есть 2, 8%).

Конец игры: 0 %.

Продолжение игры: 16, 7 % (от общего числа, то есть 100% случаев, если он выигрывает в первом раунде).

Партия 3: игрок может начать с 1 евро (конфигурация AFX) или с 3 евро (конфигурация ААХ).

AFF(игрок теряет 1 евро и заканчивает игру, вероятность 5²/6³, то есть 11, 6%).

AFA (игрок выигрывает 1 евро, теперь у него есть 2 евро, вероятность 5/6³, то есть 2, 3%).

AAF(игрок теряет 1 евро, однако у него есть 2 евро, вероятность 5/6³, или 2, 3%).

ААА (игрок выигрывает 1 евро, теперь у него есть 4 евро, вероятность 1/6³, или 0, 5%).

Конец игры: 11, 6%.

Продолжение игры: 5, 1 % (2, 3% + 2, 3% + 0, 5%).

Партия 4: игрок может начать с 2 евро (конфигурации AFAX и AAFX) или с 4 евро (конфигурация АААХ). Игра в любом случае продолжается.

AFAF(игрок теряет 1 евро, у него теперь есть 1 евро, вероятность 5²/6⁴, то есть 1, 9%).

AFAA (игрок выигрывает 1 евро, теперь у него есть 3 евро, вероятность 5/6⁴, то есть 0, 4 %).

AAFF(игрок теряет 1 евро, у него теперь есть 1 евро, вероятность 5²/6⁴, то есть 1, 9%).

AAFA (игрок выигрывает 1 евро, теперь у него есть 3 евро, вероятность 5/6⁴, то есть 0, 4 %).

AAAF(игрок теряет 1 евро, у него теперь есть 3 евро, вероятность 5/6⁴, то есть 0, 4 %).

АААА (игрок выигрывает 1 евро, у него теперь есть 5 евро, вероятность 1/6⁴, то есть 0, 1 %).

Конец игры: 0%.

Продолжение игры: 5, 1 %.

Партия 5: игрок рискует проиграть в конфигурациях, когда у него есть только 1 евро — AFAFF и AAFFF.

AFAFF (игрок теряет 1 евро и заканчивает игру, вероятность 5³/6⁵, то есть 1, 6%).