Античная наука

В предыдущей главе мы уже указывали па тот странный факт, что после Аполлония Пергского в эллинистической математике не появилось ни одного большого имени. Примерно около столетия длилась эпоха «эпигонов», затем наступил двухвековой перерыв — как если бы математикой в это время вообще никто не занимался. Новый подъем намечается лишь к концу I в. н. э., т. е. уже в эпоху Римской империи. Двумя выдающимися математиками этого времени были Герон и Менелай — оба из Александрии.

Герон более известен как талантливый инженер и изобретатель, но эта сторона его деятельности будет освещена ниже. Об его интересе к математике свидетельствует прежде всего тот факт, что он написал комментарий к «Началам» Евклида. Однако математика прежде всего была для него важна своими прикладными аспектами. До нас дошла «Метрика» Герона — сочинение, в котором собраны всевозможные формулы, использовавшиеся для измерения и для вычисления фигур. Среди них приводится и доказывается Формула, служащая для определения площади треугольника по трем его сторонам и приводимая в наше время в любом учебнике геометрии под именем «Формулы Герона» (имеются, впрочем, указания, что эта формула была известна еще Архимеду). Помимо точных формул, Герон приводит ряд приближенных правил; так, для извлечения квадратного корня он применяет правило, взятое, по-видимому, из вавилонской математики:

где а² — наибольший целый квадрат, меньший N. Есть у него правило и для извлечения кубического• корня. Эти и многие другие правила он формулирует без доказательств, лишь поясняя их числовыми примерами.

Менелай Александрийский был математиком совсем иного рода. В области тригонометрии он был продолжателем Гиппарха и написал книгу, ныне утерянную, о вычислении хорд (что эквивалентно вычислению синусов).

Кроме того он заложил основы новой науки — сферической тригонометрии. В арабском переводе до нас дошла его «Сферика», состоящая из трех книг. В двух первых книгах доказываются различные теоремы о сферических треугольниках (между прочим, • теорема о равенстве).

Рис. 13. К «теореме о трансверсалях» Мснелая на плоскости

Рис. 14. К «теореме на трансверсалях» Менелая на сфере

Третья книга начинается с «теоремы о трансверсалях», состоящей в следующем.

Пусть даны две прямые АВ и АС и на них взяты две произвольные точки D и Е, и пусть CD и BE пересекаются в точке Z (рис. 13). Тогда можно доказать, что между отрезками, получившимся на чертеже, существуют такие соотношения:

Посредством проектирования из центра Менелай переводит эти отношения на сферу (рис. 14) и, если ADB, АЕС, CZD и BZE будут большими кругами сфер, получает отношение для хорд:

Из теоремы о трансверсалях Менелай получает ряд формул сферической тригонометрии.

Доказанная Менелаем «теорема о трансверсалях» нашла потом широкое применение у Птолемея. Вообще вся эта область математики разрабатывалась тогда в качестве математического аппарата для астрономии; тем не менее книга Менелая представляла собой значительное достижение и с чисто математической точки зрения.

Клавдий Птолемей был также несомненно прекрасным математиком, хотя математика интересовала его главным образом лишь как средство для решения астрономических и картографических задач. Но он не чуждался и чисто математической проблематики, о чем свидетельствует то, что им было написано сочинение о параллельных линиях и о пятом постулате Евклида (о чем сообщает Прокл). Текст этого сочинения утрачен и сколько-нибудь детальными сведениями о его содержании мы не располагаем (неоплатоник Прокл приводит якобы птоломеево доказательство пятого постулата Евклида, содержащее грубую ошибку).

Следует отметить, что в «Альмагесте» Птолемеи широко пользуется заимствованной у вавилонян шестидесятеричной системой нумерации, применяя ее не только для дуг круга, но также для отрезков и площадей. Таким образом, «минуты», «секунды» и т. д. становятся у него отвлеченными числами, не связанными с каким-либо определенным видом величины. Любопытно, что в его записи дробей существовал символ о («омикрон»), служивший для обозначения отсутствия одного из шестидесятеричных разрядов. Это — первое появление нуля в европейской математической литературе.

В лице Диофанта, величайшего математика III века н. э., мы встречаемся с представителем нового, алгебраического направления в античной математике, которое не находилось пи в какой связи с традиционной греческой геометрией. В свете новейших открытий в области ориенталистики можно считать вероятным, что корни алгебры Диофанта (так же, как и приближенных формул Герона) восходят к вавилонской математике. К сожалению, мы не располагаем никакими промежуточными звеньями, которые позволили бы нам проследить процесс переноса вавилонских алгебраических методов на эллинистическую почву.