Апология математика

Я мог бы добавить, что ничто в мире не доставляет большего удовольствия даже весьма известным людям (в том числе и тем из них, кто позволял себе пренебрежительные высказывания о математике), чем открытие или переоткрытие настоящей математической теоремы. Герберт Спенсер[115] опубликовал в своей автобиографии переоткрытую им теорему об окружностях, которую он доказал, когда ему было двадцать лет (не зная, что она была доказана Платоном более чем двумя тысячами лет раньше). Более свежий и более поразительный пример - профессор Содди (но его теорема действительно принадлежит ему).

11

Шахматная задача - настоящая математика, но в каком-то смысле это "тривиальная" математика. Сколь бы изысканными и тонкими, оригинальными и удивительными ни были ходы, нечто существенное всё же отсутствует. Шахматные задачи неважные. Лучшая математика серьёзна и красива - если угодно, "важна", но это слово многозначно, и слово "серьёзна" лучше выражает то, что я хочу сказать.

Я не имею в виду "практические" следствия математики. К этому вопросу мне ещё придётся вернуться в дальнейшем, а пока скажу лишь, что если шахматная задача, грубо говоря, "бесполезна", то о лучшей математике большей частью можно сказать то же самое, и лишь очень малая толика математики практически полезна, и что эта малая часть математики сравнительно неинтересна. "Серьёзность" математической теоремы кроется не в практических следствиях из неё, (обычно они ничтожны), а в значимости математических идей, между которыми теорема устанавливает взаимосвязь. Не вдаваясь в детали, можно сказать, что математическая идея "значительна", если её можно естественно и просто связать с широким комплексом других математических идей. Таким образом, серьёзная математическая теорема, теорема, которая связывает значительные идеи, весьма вероятно приводит к существенным продвижениям в самой математике и даже в других науках. Ни одна шахматная задача не оказала влияния на общее развитие научной мысли; Пифагор[116], Ньютон, Эйнштейн, каждый в своё время, изменили направление научной мысли.

Разумеется, серьёзность теоремы не в её следствиях; следствия лишь свидетельствуют о её серьёзности. Шекспир оказал огромное влияние на развитие английского языка, Отуэй не оказал почти никакого влияния, но Шекспир был лучшим поэтом по иной причине. Он был лучшим поэтом потому, что его поэзия была намного лучше. Незначительность шахматной задачи, подобно поэзии Отуэя, не в её последствиях, а в её содержании.

Существует ещё один вопрос, на котором я остановлюсь очень кратко, не потому, что он не интересен, а потому, что он сложен и я не обладаю должной квалификацией для того, чтобы вести сколько-нибудь серьёзную дискуссию по эстетике. Красота математической теоремы во многом зависит от её серьёзности: даже в поэзии красота строки может в какой-то мере зависеть от значимости заложенных в ней идей. Выше я привёл две шекспировские строки как пример подлинной красоты словесного рисунка, но строка

"Но лихорадка жизни отступила, и крепко спит он."

кажется мне ещё прекрасней. Образ столь же прекрасен, но в этом случае идеи исполнены смысла, тезис здрав, и поэтому строка глубже затрагивает наши чувства. Идеи оказывают существенное влияние на образ даже в поэзии и, естественно, в гораздо большей степени в математике, но я даже не пытаюсь обсуждать этот вопрос сколько-нибудь серьёзно.

12

Становится ясно, что для дальнейшего продвижения мне необходимо привести несколько примеров "настоящих" математических теорем - теорем, которые любой математик сочтет первоклассными. И здесь я оказываюсь в сильном затруднении из-за ограничений, при которых пишу. С одной стороны, мои примеры должны быть очень простыми и понятными читателю, не обладающему специальными познаниями в математике; не должно быть сложных предварительных объяснений, и читатель должен быть в силах проследить как за доказательствами, так и за формулировками теорем. Эти условия исключают, например, многие из красивейших теорем теории чисел, такие, как теорема Ферма о двух квадратах или закон квадратичной взаимности. С другой стороны, мои примеры должны быть заимствованы из "первоклассной" математики, математики активно работающего профессионального математика, и это условие исключает многое из того, что было бы легко сделать доступным для понимания широкого читателя, но что в то же время выходит за рамки логики и математической философии.

Вряд ли можно предложить лучший выход из положения, чем обращение к математике древних греков. Я сформулирую и докажу две из знаменитых теорем древнегреческой математики. Обе эти теоремы принадлежат к числу "простых" - как по идее, так и по исполнению, но несомненно, при всём этом обе - теоремы высочайшего класса. Каждая из этих теорем так же свежа и значима, как в пору своего открытия. Два прошедших с тех пор тысячелетия не оставили и морщинки на их лике. Наконец, интеллигентный читатель, сколь бы скудным ни был его математический багаж, может за какой-нибудь час одолеть и формулировки, и доказательства этих теорем.