Апология математика

Красивые теоремы есть и в теории множеств, например, теорема Кантора[117] о несчётности континуума. Здесь трудность прямо противоположная. Доказательство теоремы достаточно просто, если овладеть терминологией теории множеств, но прежде чем смысл теоремы станет ясен, необходимы обширные пояснения. Поэтому я не стану приводить новые примеры. Те же примеры, которые я привёл выше, служат своего рода тестами, и читатель, не способный оценить их по достоинству, вряд ли способен оценить что-нибудь в математике вообще.

Как уже было сказано, математик творит образы из идей, а красота и серьёзность - те критерии, по которым можно судить о создаваемых им образах. Я с трудом поверю, что тот, кто понял две приведённые мной теоремы, станет спорить по поводу того, что они удовлетворяют критериям красоты и серьёзности. Если сравнить их с самыми остроумными головоломками Дьюдени или с лучшими шахматными задачами, составленными мастером этого жанра, то превосходство теорем и в красоте, и в серьёзности станет явным: сказывается безошибочное различие в классе. Теоремы гораздо более серьёзны, а также гораздо более красивы. Можно ли определить, в чём заключается превосходство теорем чуть более подробно?

14

Прежде всего математические теоремы имеют явное и подавляющее превосходство в серьёзности. Шахматная задача - продукт очень ограниченного комплекса остроумных идей, которые отличаются одна от другой не слишком фундаментально и не имеют внешних последствий. Мы мыслили бы так же, даже если бы шахматы никогда не были изобретены, в то время как теоремы Евклида и Пифагора оказали глубокое влияние на человеческую мысль даже за пределами математики.

Таким образом, теорема Евклида имеет жизненно важное значение для всей структуры арифметики. Прямые числа - тот сырой материал, из которого мы должны строить арифметику, и теорема Евклида убеждает нас в том, что для выполнения этой задачи мы располагаем достаточным количеством сырья. Но теорема Пифагора имеет более широкий круг приложений и более приятную формулировку.

Следует заметить, что предложенное Пифагором доказательство допускает далеко идущее обобщение и после небольшого изменения основного принципа может быть применено к весьма широкому классу "иррациональных чисел". По аналогии с доказательством Пифагора, мы можем доказать (как это, по-видимому, сделал Теэтет[118]), что числа

иррациональны или (выходя за рамки доказанного Теэтета), что числа иррациональны(8).

Теорема Евклида говорит нам о том, что в нашем распоряжении имеется достаточный запас материала для построения непротиворечивой арифметики целых чисел. Теорема Пифагора и её обобщения говорят нам о том, что, когда мы построим арифметику целых чисел, она окажется недостаточной для наших целей, так как существует множество величин, привлекших наше внимание, которые мы не сможем измерить в целых числах. Диагональ квадрата - лишь самый очевидный пример. Глубокое значение этого открытия было сразу осознано древнегреческими математиками. Сначала они предполагали (в соответствии, как я предполагаю, с "естественными" требованиями "здравого смысла"), что все величины одного и того же рода соизмеримы, например, что любые две величины длины кратны одной и той же общей единице длины, и, исходя из этого допущения, построили теорию пропорций. Открытие Пифагора показало, что это допущение не верно, и привело к построению гораздо более глубокой теории Евдокса[119], изложенной в кн. V "Начал" Евклида. В наше время многие математики считают теорию Евдокса прекраснейшим достижением древнегреческой математики. Эта теория поразительно современна по духу и может рассматриваться как предтеча современной теории иррациональных чисел, совершившей переворот в математическом анализе и оказавшей сильное влияние на философию новейшего времени.

Впрочем, в "серьёзности" любой из теорем нет никаких сомнений, и поэтому мы лучше заметим, что ни одна из теорем не имеет ни малейшего "практического" значения. В практических приложениях нас интересуют лишь сравнительно небольшие числа. Только звёздная астрономия и атомная физика оперируют с "большими" числами, но и эти науки, по крайней мере ныне, едва ли имеют большее практическое значение, чем самая абстрактная чистая математика. Я не знаю, какая высшая точность полезна для инженера. Будем щедрыми и предположим, что речь идёт о десяти знаках после запятой. Тогда число 3,14159265 (значение числа ? с точностью восемь знаков после запятой) представимо в виде отношения

двух чисел, соответственно, девяти- и десятизначных. Количество простых чисел, не превышающих 1000000000, составляет 50847478. Этого достаточно для инженера, и он может чувствовать себя вполне счастливым без всего остального. О теореме Евклида сказано достаточно. Что же касается теоремы Пифагора, то ясно, что для инженера иррациональные числа не представляют интереса, так как он имеет дело только с приближёнными значениями различных величин, а все приближённые значения рациональны.

15