Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Две проблемы о совершенных числах. Число 6 делится на 1, на 2, на 3 и на 6 - эти числа 1, 2, 3, 6 суть делители числа 6. Если из списка делителей числа 6 мы удалим само это число, а остальные сложим, получим 6. Действительно, 1 + 2 + 3 = 6. Тем же свойством обладает число 28. Eго делителями служат числа 1, 2, 4, 7, 14, 28. Если их все, кроме 28, сложить, получим как раз 28: действительно, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. В VI веке до н. э. это редкое свойство чисел вызывало мистический восторг у Пифагора и его учеников: по их мнению, оно свидетельствовало об особом совершенстве числа, обладающего таким свойством. А потому каждое число, совпадающее с суммой своих делителей, отличных от самого этого числа, получило титул совершенного. Первые четыре совершенных числа (6, 28, 496 и 8128) были известны уже во II веке н. э. А в сентябре 2006 года было обнаружено сорок четвёртое совершенное число; оно колоссально, в его десятичной записи около двадцати миллионов знаков. Все найденные совершенные числа оказались чётными. И вот две простые по формулировке, но не решённые до сих пор проблемы. Существуют ли нечётные совершенные числа? Конечна или бесконечна совокупность всех совершенных чисел? Эквивалентная формулировка второй проблемы: существует ли наибольшее совершенное число?

Две проблемы о простых числах. Напомним (мы говорим «напомним», потому что теоретически это должно быть известно из средней школы), что простым называется такое число, которое, во-первых, больше единицы, а во-вторых, не имеет других делителей, кроме единицы и самого себя. Ещё в III веке до н. э. в «Началах» Евклида было установлено, что среди простых чисел нет наибольшего, их ряд 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т. д. никогда не кончается; иными словами, совокупность простых чисел бесконечна. Предложение 20 девятой книги «Начал» гласит, что простых чисел больше, чем в любом предъявленном списке таковых; доказательство же этого предложения состоит в описании способа, позволяющего для любого списка простых чисел указать простое число, в этом списке не содержащееся. Отметим, что Евклид нигде не говорит о совокупности простых чисел в целом - само представление о бесконечных совокупностях как об особых сущностях появилось значительно позже. Когда-то изучение простых чисел рассматривалось как чистая игра ума; оказалось, что они играют решающую роль во многих практических задачах криптографии.

Среди нерешённых проблем, связанных с простыми числами, приведём две: проблему Гольдбаха - Эйлера и проблему близнецов.

Первая была поставлена в 1742 году великим Леонардом Эйлером в его переписке с Христианом Гольдбахом. Основная деятельность обоих протекала в России; в 1764 году Гольдбах был похоронен в Москве, а Эйлер в 1783 году - в Петербурге.