Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Кто есть Эйлер, один из самых великих математиков за всю историю человечества, и в чём заключается его величие - всё это легко узнать, если заглянуть, как встарь, в энциклопедический словарь. Сведения же о том, что собой представляет Гольдбах, словари дают скупо; такие сведения следует искать в специальной литературе или же в Интернете; некоторые из фактов заслуживают того, чтобы здесь их изложить. Хотя математические статьи, опубликованные Гольдбахом в научных журналах, и не оставили сколько-нибудь заметного следа в математике, он был признанным членом математического сообщества своего времени. Он был лично знаком или состоял в переписке с рядом выдающихся умов, в том числе с Лейбницем и с Эйлером; переписка с Эйлером продолжалась 35 лет и прекратилась лишь со смертью Гольдбаха. Один из историков науки (кстати, правнук Эйлера и непременный секретарь Петербургской академии наук) писал: «Его [Гольдбаха] переписка показывает, что если он не прославился ни в одной специальности, то это следует приписать большой универсальности его познаний. То мы видим его обсуждающим ‹…› кропотливые вопросы классической и восточной филологии; то он пускается в нескончаемые археологические споры ‹…›». В своих письмах Гольдбах предстаёт как человек, наделённый и интуицией, и способностью чувствовать новое. Проблема Гольдбаха - Эйлера, например, возникла как реакция Эйлера на некое предположение, сообщённое ему Гольдбахом (предположение состояло в том, что всякое целое число, большее, чем 2, разлагается в сумму трёх слагаемых, каждое из коих есть либо простое число, либо единица). В России, куда он приехал в 1725 году в тридцатипятилетнем возрасте, Гольдбах сделал головокружительную карьеру. Он сразу получил место секретаря, а также историографа организуемой во исполнение замысла Петра I Императорской академии наук; именно он вёл (на латинском языке) первые протоколы Академии. С 1737 по 1740 год он был одним из двух лиц, осуществлявших административное управление Академией (другим был Шумахер; обоим по этому случаю был присвоен ранг коллежского советника). В конце 1727 года он был назначен наставником двенадцатилетнего императора Петра II. Рассказывают, что руководство по обучению царских детей, составленное Гольдбахом в 1760 году, применялось на практике в течение ста последующих лет. В 1742 году Гольдбах сделался ответственным работником министерства иностранных дел (как сказали бы теперь), стал получать награды, земли и чины и к 1760 году дослужился до чина тайного советника. Чин этот довольно точно отражал его обязанности, поскольку Гольдбах состоял в должности криптографа. Эйлеру тоже захотелось чина. Однако Екатерина II, благосклонно встретившая пожелания Эйлера относительно жалованья, казённой квартиры и обеспечения его трёх сыновей позициями и доходами, весьма дипломатично отказала: «Я дала бы, когда он хочет, чин, если бы не опасалась, что этот чин сравняет его с множеством людей, которые не стоят г. Эйлера. Поистине его известность лучше чина для оказания ему должного уважения».

Перейдем, однако, к сути названных проблем.

Непосредственное наблюдение подсказывает, что всякое чётное число, большее двух, удаётся представить в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых является простым числом: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7,…, 24 = 5 + 19,…, 38 = 7 + 31 и т. д. Однако проверке может быть подвергнуто лишь ограниченное количество чётных чисел, а всего их бесконечно много. Имеющиеся свидетельства, полученные от просмотра конечного (пусть гигантского) количества примеров, не могут гарантировать, что когда-нибудь в будущем не появится астрономически большого чётного числа, для которого разложение на два простых слагаемых невозможно. А ведь современные компьютеры позволяют строить и использовать для важных практических целей числа с сотнями десятичных знаков. Вот и встаёт вопрос: всякое ли чётное число, большее двух, можно представить как сумму двух простых слагаемых? Проблема отыскания ответа на это вопрос и есть проблема Гольдбаха - Эйлера.

Теперь о проблеме близнецов. Заметим, что встречаются очень близко расположенные друг к другу простые числа, а именно такие, расстояние между которыми равно 2. Пример: 41 и 43. Такие числа называются близнецами. Начнём последовательно выписывать пары близнецов: (3, 5); (5, 7); (11, 13); (17, 19); и. т. д. Спрашивается, закончится ли когда-нибудь этот ряд пар? Наступит ли момент, когда будет выписана последняя пара и список близнецов окажется исчерпанным, или же ряд близнецовых пар продолжается неограниченно и их совокупность бесконечна (как бесконечна совокупность простых чисел)? Проблема отыскания ответа на этот вопрос и есть проблема близнецов.

Осознание того, что есть простые по формулировке вопросы, столетиями ждущие ответа, представляется поучительным. Не менее поучительно осознание того, что есть и проблемы другого типа, не ждущие решения по причине того, что решения не существует в принципе.