Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Чёрные дыры, кстати, служат прямым опровержением положения о познаваемости мира - одного из центральных положений того самого передового, единственно верного и всесильного учения, которое 70 лет насильственно вдалбливалось в наши бедные головы. Ведь, как учит физика, никакие сигналы из этих дыр не могут к нам поступать в принципе, так что узнать, что там происходит, невозможно. О том, как устроена наша Вселенная в целом, мы вообще знаем очень мало, и сомнительно, что когда-нибудь узнаем. Да и сам смысл вопроса о её устройстве не вполне ясен. Не исключено, что этот вопрос относится к числу тех, на которые, согласно учению Будды, не существует ответа. Физика предлагает лишь модели устройства, более или менее согласующиеся с известными фактами. При этом физика, как правило, пользуется уже разработанными заготовками, предоставляемыми ей математикой.

Математика не претендует, разумеется, на то, чтобы установить какие бы то ни было геометрические свойства Вселенной. Но она позволяет осмыслить те свойства, которые открыты другими науками. Более того. Она позволяет сделать более понятными некоторые такие свойства, которые трудно себе вообразить, она объясняет, как такое может быть. К числу таких возможных (подчеркнём: всего лишь возможных!) свойств относятся конечность Вселенной и её неориентируемость.

Долгое время единственной мыслимой моделью геометрического строения Вселенной служило трёхмерное евклидово пространство, то есть то пространство, которое известно всем и каждому из средней школы. Это пространство бесконечно; казалось, что никакие другие представления и невозможны; помыслить о конечности Вселенной казалось безумием. Однако ныне представление о конечности Вселенной не менее законно, чем представление о её бесконечности. В частности, конечна трёхмерная сфера. От общения с физиками у меня осталось впечатление, что одни отвечают “скорее всего, Вселенная бесконечна”, другие же - “скорее всего, Вселенная конечна”.

Ниже мы попытаемся объяснить теоретическую возможность конечности Вселенной. Пока что заметим лишь, что конечность Вселенной не означает наличие у неё края, “стены”. Ведь само по себе отсутствие у геометрической фигуры конца и края ещё не означает её бесконечности. Поверхность нашей планеты, например, конечна, но края у неё нет. В детстве я, как и другие, наслаждался старинной картинкой, на которой был изображён монах, дошедший до Края Земли и просунувший голову сквозь небесный свод. Ещё более, чем упомянутая картинка, детское воображение увлекала модная гипотеза (потом она как-то заглохла), что некие две далёкие туманности, наблюдаемые с Земли в противоположных концах небосвода, являются на самом деле не различными астрономическими объектами, а одним и тем же объектом, видимым с разных сторон. Если бы это подтвердилось, это было бы доказательством конечности Вселенной. Вот три мысленных эксперимента, способные засвидетельствовать указанную конечность, если она действительно имеет место. Первый: экспериментатор отправляется в космическое путешествие и, двигаясь всё время в одну сторону, возвращается в исходную точку. Второй: обнаруживается окружность, длина которой меньше той, которую сообщают нам в школе, то есть меньше двух пи, помноженных на длину радиуса. Третий (предложен Эйнштейном): экспериментатор окружает себя сферой, сделанной из прочной и неограниченно растягивающейся плёнки, и начинает эту сферу раздувать; площадь поверхности сферы сперва будет возрастать, но начиная с некоторого момента - уменьшаться, а в итоге вся сфера стянется в точку - при том, что экспериментатор остаётся внутри сферы.

Чтобы понять, как такое возможно, надо напрячь воображение, а затем рассуждать по аналогии.