Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Уэллс объясняет происшедшие с Платтнером изменения выходом в другой мир, в четвёртое измерение: “Если вы вырежете из бумаги любую фигуру, имеющую правую и левую стороны, вы можете легко переместить эти стороны, если подымете и перевернёте фигуру. Но с предметом объёмным дело обстоит иначе. Теоретики-математики говорят нам, что единственный способ, посредством которого правая и левая сторона какого-нибудь твёрдого тела могут перемениться, - это если изъять тело из пространства (в том виде, в каком мы понимаем пространство), вынуть его из обычных условий и переместить куда-то вне пространства. ‹…› Случившаяся у Платтнера перемена местами правой и левой частей есть не что иное, как доказательство того, что он переходил из нашего пространства в так называемое Четвёртое Измерение, а затем снова вернулся в Наш Мир”.

Здесь существенна заключённая в скобки оговорка: “…в том виде, в каком мы понимаем пространство…” Имеется в виду стандартное, школьное понимание пространства. Математики, однако, обнаружили теоретическую возможность такой формы трёхмерного пространства, что поменять местами правую и левую части тела можно и без выхода за пределы этого пространства. При стандартном школьном понимании формы окружающего нас трёхмерного пространства действительно никаким перемещением в этом пространстве невозможно превратить кисть правой руки в кисть левой руки. Но это невозможно именно при стандартном школьном понимании. Существуют, однако, и иные формы пространства, допускающие такое перемещение. Попытаемся разъяснить, как такое может быть.

Как справедливо замечает Уэллс, вырезанный из бумаги силуэт правой ладони невозможно превратить в силуэт левой ладони, ограничиваясь перемещением по плоской поверхности стола; чтобы это сделать, надо поднять силуэт над столом, то есть выйти в третье измерение, перевернуть и снова положить на стол. Существует, однако, такая поверхность, перемещением по которой правое превращается в левое. Два немецких математика, Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мёбиус, независимо друг от друга открыли её в 1858 году. По имени одного из них поверхность получила название лист Мёбиуса.

Изображение листа Мёбиуса можно встретить на обложках математических изданий и значках математических сообществ (в частности - на значке мехмата Московского университета). Рекомендуем любезному читателю самому изготовить эту знаменитую поверхность. Сделать это просто. Если взять бумажную ленту и склеить её торцы, то полученная поверхность будет боковой поверхностью цилиндра. Если же перед склеиванием ленту крутануть на 180 градусов, как раз и получится лист Мёбиуса. Во избежание недоразумений повторим сказанное на языке математики. Надо взять прямоугольник ABCD, у которого сторона AB параллельна стороне CD, а сторона AD параллельна стороне BC, и склеить друг с другом стороны AD и BC (“торцы”). Склейку можно производить различными способами. Если сделать это без перекрутки, точка A склеится с точкой B, а D - с C, и получится боковая поверхность цилиндра. Если же A склеить с C, а D с B, получим лист Мёбиуса. Случается, что, подпоясавшись и застегнув ремень, вы обнаруживаете, что ремень перекрутился; такой перекрученный и застёгнутый ремень может служить примером листа Мёбиуса³.

Лист Мёбиуса обладает рядом замечательных свойств. Так, он имеет всего лишь одну сторону. Чтобы убедиться в этом, проделаем такой мысленный эксперимент. Представим себе сделанный из прочного материала и расположенный в невесомости лист Мёбиуса, поставим на него человека и попросим этого человека прогуляться. Можно выбрать такой маршрут, что в какой-то момент прогулки человек окажется в положении антипода по отношению к тому положению, какое он имел в исходный момент. Ясно, что ни для боковой поверхности цилиндра, ни для плоскости, ни для сферы такая прогулка невозможна. Лист бумаги можно закрасить с одной стороны в чёрный цвет, оставив другую его сторону незакрашенной. Точно так же и поверхность цилиндра, и сферу можно выкрасить с одной стороны, оставив другую незакрашенной. Поступить так с листом Мёбиуса не удастся. И плоскость, и поверхность цилиндра, и сфера суть поверхности двусторонние. Лист же Мёбиуса является односторонней поверхностью.