Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Не в интересах правды, а в интересах истины сообщим, что же происходит в геометрии Лобачевского. Отличие геометрии Лобачевского от привычной, известной из школы евклидовой геометрии в следующем. В евклидовой геометрии через точку проходит только одна прямая, параллельная заранее указанной прямой, а в геометрии Лобачевского — много таких прямых. В аксиоме о параллельных, сформулированной выше, надо заменить слово «нельзя» на слово «можно», и аксиома о параллельных в версии Евклида превратится в аксиому о параллельных в версии Лобачевского: Через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой.

Особое положение аксиомы о параллельных вызвано тем, что она не столь очевидна, как другие аксиомы геометрии. Возьмём, например, аксиому о том, что через две любые различные точки проходит одна и только одна прямая. Её можно проверить экспериментально. Надо выбрать плоский участок, вбить два колышка и туго натянуть между ними нить — вот вам наглядное подтверждение наличия прямой, проходящей через две точки. Если же мы возьмём другую натянутую нить, соединяющую те же колышки, то обе нити сольются в одну линию — на глаз, конечно, но вся наша проверка и идёт «на глаз»; так подтверждается единственность прямой. А вот убедиться столь же просто, что проходящая через точку параллельная всегда только одна, невозможно. Мысленно представим себе, что мы провели параллельную и, кроме того, через ту же точку какую-то другую прямую под очень маленьким углом к этой параллельной. По евклидовой аксиоме эта другая прямая обязана пересечь ту исходную прямую, к которой и была проведена наша параллельная. Но где она, эта точка пересечения? Она ведь может оказаться не только вне выбранного участка, доступного нашему обозрению, но и астрономически далеко, вне нашей Галактики. И может не оказаться иного способа убедиться в том, что такая точка существует, как просто поверить в евклидову аксиому о параллельных. Но такой, основанный на чистой вере, способ подтверждения того факта (а лучше сказать — того предположения, той гипотезы), что аксиома о параллельных выполняется в реальном физическом пространстве, был не по душе математикам.

Поэтому в течение долгого времени предпринимались попытки доказать содержащееся в аксиоме о параллельных утверждение, исходя из остальных аксиом, и тем самым как бы понизить статус этого утверждения, переведя его из аксиом в теоремы. Однако все эти попытки проваливались. Как правило, в каждое такое доказательство незаметно проскальзывало какое-нибудь геометрическое утверждение, не вызывающее, казалось бы, никаких сомнений, но на самом деле равносильное аксиоме о параллельных. Например, в «доказательстве» знаменитого французского математика XVIII–XIX веков Лежандра использовалось такое вроде бы невинное предложение: через любую точку внутри угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла. Оказалось, что это предложение равносильно аксиоме о параллельных: оно не только опирается на эту аксиому, но и из него, в свою очередь, можно вывести самоё аксиому.