Апология математики (сборник статей)

Если бы такая теория стала реальностью, то можно было бы думать о новой трактовке дуализма «волна – частица» в квантовой механике и даже мечтать об автоматическом исчезновении расходимостей релятивистской квантовой механики, после того как точки пространства-времени утратят свою резкую определённость и приобретут чуть-чуть размытый вид.

Не следует ожидать, что наша гипотетическая теория, если ей когда-нибудь суждено появиться на свет, будет единственной; наоборот, она должна будет зависеть от каких-то «параметров» (по своей роли отдалённо напоминающих радиус пространства Лобачевского, когда мы отказываемся от евклидовой геометрии в пользу геометрии неевклидовой). Можно ожидать, что в предельном случае гипотетическая теория должна будет совпадать с существующей.

Построение подобной теории (если вообще верить в его возможность) будет очень трудным, но не совсем в том смысле, как бывают трудны математические проблемы типа «доказать или опровергнуть данное утверждение». Видимо, сама её логическая структура должна сильно отклоняться от общепринятых схем. Для примера: в обычной математической теории считается, что любой объект, участвуя в конструкции другого объекта, сам от этого не меняется и тем более не исчезает. Так, сопоставляя числам а, b их сумму а + b, мы в то же время сохраняем в своём распоряжении и прежние числа. Заметим, что этот принцип, общепринятый в математике, несколько парадоксален с точки зрения материальных прообразов математических операций. Так, «сложив» два мешка зерна путём ссыпания их в третий мешок, мы получим «сумму», но безвозвратно потеряем «слагаемые». Восстановить же их мы можем лишь приближённо. Возможно, и в нашей гипотетической теории придётся принять, что участие объекта в конструировании другого объекта некоторым образом влияет на первый объект, вызывая в нём какие-то изменения. Это не нужно, конечно, понимать как определённое предложение; я хочу лишь пояснить, какого рода могло бы быть серьёзное отклонение логической структуры от обычной.

Возможен и другой вариант сказанного. Обычную точку зрения можно трактовать так: любой объект существует в неограниченном количестве абсолютно одинаковых копий, и, когда одна из них «истрачена» на конструкцию другого объекта, остаётся сколько угодно других. Возможно, в нашей гипотетической теории придётся отказаться от абсолютной одинаковости «копии» и принять, что они «изготовляются» в пределах некоторых «допусков». Кстати, это хорошо соответствует идее «размытости» объектов теории, о чём говорилось ранее.

Заканчивая эту заметку, я понимаю, конечно, что ничего не доказал, да и не пытался что-либо доказать. Я хотел только привлечь внимание к проблематике, которую смог обрисовать – это также нужно признать – лишь весьма туманно. Но обрисовать её более ясно – это уже означало бы продвинуться и в её решении.

Мне неизвестны какие-либо печатные материалы по затронутой теме, но в устной передаче я слышал, что о ней думали; по-видимому, в чём-то родственные соображения относительно натурального ряда высказывал в своё время Н. Н Лузин.

Сведения о предыдущих публикациях статей

Все статьи сборника были в своё время опубликованы. Шесть из них – в книге: Успенский В. А. Труды по нематематике: В 2 т. Т. 1. – М.: ОГИ, 2002. – 580 с. Ниже при ссылках сокращённо обозначается так: [ТпН-1].

Для данного издания все статьи – за исключением, разумеется, не принадлежащих автору и включённых в качестве приложений I и II – перерабатывались, причём в отдельных случаях довольно существенно. Таким образом, указанные ниже предыдущие варианты могут значительно отличаться от публикуемых в этом сборнике.

1. Из предисловия к сборнику переводов «Математика в современном мире»

а. Математика в современном мире / Пер. с англ. Н. Г. Рычковой. – М.: Мир, 1967. – С. 5–11.

б. [ТпН-1]. С. 266–273.

2. Математическое и гуманитарное: преодоление барьера

а. Знамя. 2007. № 12. С. 165–173.

б. Успенский В. А. Предисловие к математике. – СПб.: ООО «Торгово-издательский дом "Амфора"», 2015. – С. 5–51.

3. Апология математики, или О математике как части духовной культуры