Архимед. Закон Архимеда

В утверждении 5 говорится, что площади этих кругов будут равны (S_С1=S_С2), независимо от местоположения точки С, отчего они и называются кругами-близнецами Архимеда. Существуют и другие круги, связанные с арбелосом, они тоже носят личные имена — круг Аполлония, круг Паппа и круг Банкофа.

Еще одна фигура, представленная в «Книге лемм», называется салинон, что согласно интерпретации историка математики Томаса Хита означает «солонка». В утверждении 14 даются указания, как построить эту фигуру, и вновь встречается имя Архимеда. То, что он неоднократно упоминается в данном трактате, говорит об учебном характере книги. Инструкции же, которые даются в ней для постройки салинона (рисунок 17 на стр. 116), таковы.

— Проводится отрезок прямой АВ, и в его середине отмечается точка О.

— Строится полуокружность, диаметр которой равен отрезку АВ.

— На отрезке АВ строятся еще две полуокружности равного диаметра (меньшего, чем половина отрезка) так, чтобы они касались первой полуокружности в точках А и В.

— Получаются полуокружности с диаметрами AD и ЕВ и центрами соответственно в точках G и H.

— Строится полуокружность с диаметром DE в сторону, противоположную двум предыдущим, замыкая таким образом фигуру.

— Фигура, замкнутая построенной линией из четырех полуокружностей, и есть салинон.

Место предполагаемой могилы Архимеда в Сиракузах на Сицилии.

В 1965 году вычисление наименьшего из возможных решений задачи о быках заняло у компьютера IBM 7040 7 часов 49 минут (фото: Columbiana photo archive).

В «Книге лемм» Архимед представляет геометрическую фигуру «арбелос» (сапожный нож), названную так из-за сходства с соответствующим инструментом (фото: Thomas Schoch).

РИС. 17

РИС. 18

Интересно отметить, что при представлении салинона Архимед в том же утверждении описывает следующее его свойство.

— Проводится прямая, перпендикулярная АВ и проходящая через точку О.

— Эта прямая пересекает границы салинона в точках С и F.

— Берется точка Р, представляющая собой середину отрезка CF, и строится окружность с центром Р и диаметром CF.

— Можно доказать, что площадь салинона равна площади круга с диаметром CF и центром Р (рисунок 18).

Трехмерные архимедовы фигуры

К сожалению, до нас не дошел трактат «О правильных многогранниках», в котором, по- видимому, Архимед подробно описывал трехмерные тела, носящие в наше время его имя. Однако мы знаем о них благодаря александрийскому математику Паппу. В книге V своего «Математического собрания» он пишет:

«Хотя можно придумать множество многогранников самых разных видов, более всего заслужили внимание многогранники, которые имеют правильную форму. Таковы не только фигуры, найденные великим Платоном, то есть тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и пятый — икосаэдр, но и 13 многогранников, открытых Архимедом, сложенные из правильных, но не одинаковых многоугольников с равными сторонами и равными углами».

РИС. 19

Архимедовы тела, примеры которых приводятся на рисунке 19, — это 13 выпуклых многогранников, которые по большей части получаются из Платоновых тел «срезанием углов»: усеченный куб, усеченный тетраэдр, малый ромбокубооктаэдр, большой ромбокубооктаэдр, усеченный октаэдр, усеченный додекаэдр, усеченный икосаэдр, плосконосый куб, кубооктаэдр, малый ромбоикосододекаэдр, большой ромбоикосододекаэдр, икосододэкаэдр и плосконосый додекаэдр.

ГЛАВА 4 Военный инженер

Греческий мир в эпоху Архимеда был охвачен желанием понять и покорить окружающую природу. Для этой цели требовалось создавать разнообразные машины, все более и более сложные, будь то устройства открытия ворот, или подъемные механизмы для больших грузов, или более совершенные корабли. Именно в таких обстоятельствах математика, находившаяся на тот момент в расцвете, открыла дорогу инженерному искусству.

Архимед известен скорее в связи со своими машинами и техническими новшествами, чем с тем вкладом, который он внес в математику. Любопытно, что как раз о машинах, изобретение которых ему приписывается, он не написал ни строчки, по крайней мере мы об этом ничего не знаем. И тем не менее существует множество упоминаний о них в различных источниках, поэтому можно считать более-менее установленным фактом, что именно Архимед был их автором. Как уже говорилось, возможно, именно математики той эпохи уделяли наименьшее внимание технике, хотя ее развитие в античности шло довольно интенсивно.

Из рассказа об осаде Сиракуз становится ясно, что Архимед был очень талантливым механиком и инженером. Например, свои разработки в области рычага он использовал при конструировании и модернизации катапульты, а также в сложных системах блоков.