Астероидно-кометная опасность: вчера, сегодня, завтра

Как известно, движение тела относительно некоторой инерциальной системы координат полностью определяется действующими на него силами и начальными условиями. В качестве последних обычно выбирают координаты и компоненты скорости в некоторый момент времени или шесть элементов орбиты. Обратная задача заключается в том, чтобы по наблюдаемому движению небесного тела определить начальные условия движения, например элементы орбиты в некоторый момент времени. Так как каждое позиционное наблюдение дает две сферические координаты (α и δ), то минимальное количество наблюдений, необходимых для определения шести элементов эллиптической орбиты, равно трем. Орбита, найденная по трем или небольшому числу наблюдений, называется предварительной. Для определения предварительной орбиты большей частью используются методы, основанные на работах Лагранжа, Гаусса и Лапласа [Субботин, 1968; Херрик, 1977; Быков, 1989; Marsden, 1991]. Как правило, при определении предварительной орбиты астероида или кометы учитывается только притяжение Солнца. Возмущающим влиянием больших планет и другими возможными возмущениями в движении тела при этом пренебрегают.

Предварительная орбита имеет невысокую точность как из-за ошибок наблюдений, на основе которых она определена, так и из-за пренебрежения действующими на тело силами. Однако определение предварительной орбиты является необходимым этапом, поскольку оно позволяет вычислить эфемериду тела для продолжения наблюдений в ближайшие дни и не потерять объект. Если в дальнейшем удается провести дополнительные наблюдения или найти в каталогах наблюдения, принадлежащие тому же телу, то предварительная орбита подвергается исправлению, или уточнению, с учетом старых и новых наблюдений. При этом уже учитываются возмущения, вызываемые другими телами Солнечной системы помимо Солнца, и, возможно, иные возмущения.

Уточнение параметров движения чаще всего выполняется по методу наименьших квадратов (МНК). Напомним основные положения этого метода и некоторые формулы, используемые в дальнейшем.

Вновь наблюдаемые координаты тела, как правило, заметно отличаются от тех координат, которые вычисляются согласно теории движения с первоначально найденными параметрами (элементами орбиты тела). Процесс уточнения предварительной орбиты сводится к тому, чтобы найти такие поправки к исходной системе элементов, которые уменьшали бы рассогласование между наблюденными и вычисленными положениями.

Пусть имеются n наблюденных положений тела, которые обозначим как O_k (под O_k можно понимать наблюденное значение любой координаты). По теории движения с исходной системой элементов орбиты E⁰_i (i = 1…, 6) на моменты наблюдений t_k вычисляются положения C_k:

F (t_k; E⁰₁…, E⁰₆) = Ck.

Разности O_k — C_k (их обычно называют «наблюденное минус вычисленное»), с одной стороны, зависят от неточности исходной системы элементов, а с другой, — от ошибок наблюдений, причем вклад первой составляющей на первых порах оказывается существенно больше второй. Функцию F в окрестности исходного значения F (t; E⁰_i) можно представить по степеням приращений элементов орбиты:

Предположим, что ошибки наблюдений малы, и что E₁…, E₆ есть та система элементов, которая позволяет более точно вычислить наблюдаемые значения O_k. Если допустить, что она мало отличается от исходной системы E⁰_i, и что высшими степенями приращений ΔE⁰_i можно поэтому пренебречь, то формула (7.1) позволяет написать

Это так называемое условное уравнение относительно искомых поправок ΔE⁰_i.

Частные производные в левых частях условных уравнений могут считаться известными функциями, поскольку они всегда могут быть вычислены с большей или меньшей точностью.

Поскольку число наблюдений при уточнении орбиты почти всегда больше числа уточняемых параметров, то система условных уравнений является избыточной. В общем случае речь может идти лишь о ее приближенном решении. В методе наименьших квадратов решение ищется на основе принципа Лежандра — минимизации суммы квадратов остаточных уклонений. Под остаточными уклонениями ε_k понимаются разности между левыми и правыми частями уравнений (7.2):

Согласно принципу Лежандра, искомые неизвестные поправки должны минимизировать величину

Необходимые условия минимума S как функции переменных ΔE⁰_i записываются в виде

Эти условия образуют систему из шести линейных уравнений относительно шести неизвестных ΔE⁰_i (i = 1…, 6). Например, первое из них записывается в виде

Остальные уравнения записываются аналогично.

Система из шести уравнений (7.3) относительно неизвестных ΔE⁰_i называется нормальной. Использование матричного исчисления позволяет представить нормальную систему и ее решение в компактном виде. Составим матрицу коэффициентов условных уравнений:

Обозначим также вектор-столбец с компонентами ΔE⁰_i как вектор X, а вектор-столбец правых частей с компонентами O_k — C_k как вектор L. В таком случае система условных уравнений запишется в виде

BX = L.

Нормальная система записывается в виде

B^TBX = B^TL,