Атмосфера должна быть чистой. Применение статистических методов при аттестации источников эмиссии и оценке качества атмосферного воздуха

Кроме того, метод перебора не дает гарантии «хорошей» оценки экстремума концентрации, так как на практике приходится иметь дело с выборками ограниченного объема, то есть с ситуациями, когда действительное число измерений концентрации за контрольный период времени Т = 1 год, гораздо меньше соответствующего объема генеральной совокупности n N. Если же промежуток времени между отдельными измерениями t = 0, то метод перебора оправдан, но не позволяет, все-таки, исключить ошибочные и «выскакивающие», то есть не принадлежащие данной статистической совокупности значения. Кроме того, в этом случае, возможно наличие корреляционной связи между членами временного ряда, что ведет к необходимости обработки лишней информации.

Таким образом, во всех случаях целесообразно находить экстремальные значения при помощи какого-либо алгоритма.

У одномерной выборки, состоящей из (n) значений, всегда имеются, по крайней мере, два конечных и однозначно определяемых экстремальных значения и также конечная широта, являющаяся разностью между этими значениями. На первый взгляд кажется, что нахождение экстремума совсем простая задача, достаточно лишь расположить (n) выборочных значений в порядке возрастания их величины и рассмотреть значения, стоящие на i – ом месте от начала или конца ( в дальнейшем нас будет интересовать i – е верхнее значение), тогда при i=n получаются экстремальные значения. На самом деле экстремальные значения, как и любая порядковая статистика, обладают выборочной неустойчивостью и определяются свойствами генеральной совокупности, поэтому правильнее их находить по выборке при помощи каких-либо специальных алгоритмов.

Как известно [40], порядковые статистики представляют собой зависимые случайные величины (даже если исходная совокупность независимая) и поэтому описывается некоторым совместным распределением. Если функция распределения случайной переменной в генеральной совокупности и функции плотности f(x) непрерывны, то в выборке объемом (n) функция плотности распределения i-й порядковой статистики выражаются формулой:

(2.19.)

Математическое ожидание i – й порядковой статистики дается выражением:

(2.20.)

Где – переменная интегрирования.

Дисперсия i – й порядковой статистики определяется из выражения:

Где

(2.21.)

Ковариация между i-й и j-й порядковыми статистиками (I j) вычисляется по формуле:

(2.22.)

Где

Нормированный коэффициент корреляции:

(2.23.)

Очевидно, что эти формулы очень сложны и малопригодны для аналитического исследования. Что касается распределения наибольшего значения Х_n , то событие

X_n = X эквивалентно пересечению событий

Следовательно,

(2.24.)

Тогда, (2.25.)

(2.26.)

Последнее выражение позволяет оценить X_max если есть информация о распределении генеральной совокупности. Для нормальной или логнормальной функции распределения, оценки математических ожиданий i – х порядковых статистик могут быть выполнены только численным интегрированием на ЭВМ.

Если известны распределение и плотность генеральной совокупности F(X) и f(X), то можно находить любой контрольный уровень (X_max) с любой вероятностью его не превышения (превышения) из уравнения:

(2.27.)

Например, для стандартного нормального распределения :

(2.28.)

Из последнего выражения видно, что оценки вида X_max=+3 является хорошей оценкой экстремального значения по выборке. Аналогичные оценки можно получить и для логнормального распределения. Какую же величину вероятности следует задавать для оценки экстремального значения? Однозначных рекомендаций нет. Используют уровень 2, то есть 95% и 3, то есть 99,7%. Задают и более жесткие границы, например, для частоты экстремального значения в работе [35] рекомендуется уровень 0,01%.

Конечно, одни нормы более «мягкие», другие более «жесткие», но на практике можно было бы ограничиться любыми уровнями, обеспечивающими вероятность не превышения 95%, главным является понимание того, что любая граница допуска может быть задана с определенной вероятностью ее не превышения. В данной работе предполагается детально исследовать этот вопрос и выдать конкретные рекомендации для практического использования.

Существует еще один аспект проблемы оценки санитарно-гигиенической обстановки, который связан со стационарностью рассматриваемых случайных функций (случайных процессов).

Этот вопрос имеет принципиальное значение, прежде всего для возможности применения эргодической гипотезы (общей эргодической теоремы – предельной теоремы для среднего значения случайных функций) [42]. В общем случае математическое ожидание и дисперсия случайной функции сами являются функциями времени. Если эти функции представляют собой долгопериодные регулярные колебания (как в случае метеорологических рядов), то они могут быть выявлены методами гармонического анализа и использованы для прогноза. В случае же нерегулярных колебаний, как возможность диагностики, так и прогноза становится проблематичной.

Задача существенно упрощается для стационарных случайных процессов. Для таких процессов:

(2.29.)

для любых 0= t_i = T .

Среднее по времени для каждой реализации определяется как: