Бабочка и ураган

РЕЗИНОВАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Топология — это раздел математики, изучающий исключительно форму и расположение геометрических объектов без учета их количественных свойств, в частности размеров. Например, схемы метро дают информацию о станциях и пересадках, но искажают расстояния. Важнейшую роль в развитии топологии сыграл Пуанкаре, благодаря которому она обрела популярность как «качественная геометрия». Предоставим слово самому Пуанкаре:

«Так называемый «анализ размещения», analysis situs, это целая доктрина, которая привлекала внимание крупнейших геометров и в которой одна за одной появилось несколько важных теорем. Отличие этих теорем от теорем классической геометрии в том, что они носят качественный характер и остаются корректными даже тогда, когда фигуры неумело срисует неопытный чертежник, исказив их пропорции и заменив прямые более или менее криволинейными отрезками».

Топологию часто сравнивают с геометрией резиновых лент: если бы геометрические фигуры были изготовлены из эластичной резины, их можно было бы превращать друг в друга. Так, с точки зрения топологии сфера и куб неразличимы, и не важно, что поверхность сферы гладкая, а куб имеет ребра. Говорят, что тополог — это математик, не способный отличить бублик от чашки кофе, так как его невнимательный взгляд замечает лишь то, что и чашка, и бублик имеют единственное отверстие (бублик — дырку, чашка — отверстие в ручке). Мы можем отличить бублик от апельсина, так как в бублике дырка есть, а в апельсине — нет. Но как мы отличили бы бублик от апельсина, если бы были совсем маленькими и жили на их поверхности? (Этот вопрос вовсе не так прост, ведь сферическая поверхность Земли кажется нам плоской.) Один из методов, позволяющий избавиться от сомнений, заключается в изучении группы Пуанкаре для нашего пространства. Допустим, что мы привязали собаку к крыльцу дома очень длинным резиновым поводком и оставили ее на несколько дней. Если мы живем на поверхности бублика, то, когда мы вернемся домой, поводок скорее всего будет натянут, так как собака наверняка пройдет через отверстие бублика. Если же мы живем на поверхности апельсина, то, когда мы вернемся, поводок будет висеть свободно, и мы сможем смотать его обратно.

Пуанкаре был автором знаменитой гипотезы, носящей его имя: «Является ли трехмерная сфера единственным трехмерным многообразием, на поверхности которого любая петля стягивается в точку?». Эта обобщенная гипотеза была доказана Фридманом для четырех измерений и Смэйлом — для большего числа измерений. Полное доказательство гипотезы Пуанкаре для трех измерений привел российский математик Григорий Перельман в 2003 году.