Бабочка и ураган

* * *

Далее Пуанкаре рассмотрел их с точки зрения топологии: он изучил поведение кривых, заданных дифференциальным уравнением, в окрестности этих точек, поскольку решения исходного дифференциального уравнения — это функции, которые можно представить на плоскости графически. Точнее говоря, для этих функций можно построить график в так называемой фазовой плоскости. Термин «фаза» изначально появился в электротехнике и обозначает состояние или место, в котором находится определенное решение. На фазовой плоскости изображается семейство кривых, которые описывают решения дифференциального уравнения. Эти кривые часто называются траекториями или, по аналогии с движением планет, орбитами.

Пуанкаре разделил особые точки на четыре класса: центр, фокус, узел, седло. Названия классов заимствованы из гидродинамики, так как траектории (орбиты) на фазовой плоскости можно сравнить с потоком жидкости, распространяющимся по ней. Центры — это особые точки, окруженные периодическими орбитами; фокусы — особые точки, которые притягивают близлежащие траектории (они подобны водостокам фазовой плоскости); узлы, напротив, являются неустойчивыми, так как отталкивают близлежащие траектории (продолжая аналогию с гидродинамикой, такие точки можно сравнить с кранами, из которых льется вода на фазовую плоскость); наконец, седла — особые точки, которые являются устойчивыми и неустойчивыми одновременно. Седла — это точки, в которых словно бы сталкиваются два потока воды. Траектории, которые пересекаются точно в седле, называются сепаратрисами.

Седла Пуанкаре называл гомоклиническими точками, сепаратрисы — двоякоасимптотическими. В конце главы вы узнаете, почему он выбрал именно такие названия.

Слева — центр, справа — фокус.

Слева — узел, справа — седло идее сепаратрисы, которые в этом случае представляют собой две прямые, пересекающиеся в центральной точке.

Позднее Пуанкаре сформулировал теорему, которая сегодня называется теоремой Пуанкаре — Бендиксона (в честь шведского математика, закончившего ее доказательство). Согласно этой теореме, наряду с предельными циклами (замкнутыми кривыми, притягивающими соседние траектории) указанные выше разновидности особых точек являются единственно возможными на плоскости. Так как в двух измерениях существуют только центры, фокусы, узлы, седла и предельные циклы, то можно сказать, что количество траекторий, которые описывают решения дифференциальных уравнений, невелико: они могут описывать витки вокруг центра или предельного цикла, удаляться от узла, проходить вблизи седла или приближаться к фокусу. Все возможные варианты траектории можно пересчитать по пальцам одной руки.

Предельный цикл осциллятора Ван дер Поля. Он представляет собой замкнутую кривую (на рисунке — широкая линия), которая притягивает к себе все ближайшие траектории.

В 1881 году, за четыре года до проведения конкурса, Пуанкаре уже понимал, что созданную им новую качественную теорию можно использовать для решения задачи трех тел и ответа на вопрос об устойчивости Солнечной системы. Не напрасно лейтмотивом статьи «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» стали вопросы: «Описывает ли движущаяся точка замкнутую кривую? Всегда ли эта кривая будет находиться в определенной части плоскости? Иными словами, если использовать астрономические термины, является ли орбита устойчивой?».

За несколько лет до проведения конкурса, в 1878 году, американский астроном Джордж Уильям Хилл привлек всеобщее внимание к важности периодических решений (замкнутых кривых) задачи об устойчивости Солнечной системы. Периодическое (то есть повторяющееся) движение очень полезно при изучении устойчивости: при таком движении тело никогда не сойдет с орбиты, не столкнется с другим телом и не улетит бесконечно далеко. Хилл нашел периодическое решение задачи трех тел для случая, когда масса одного из них пренебрежимо мала по сравнению с остальными.

Проблема Хилла представляла собой частный случай задачи трех тел, в котором легкая планета движется под действием сил притяжения двух одинаковых звезд, лежащих в одной плоскости. Изучив проблему Хилла, Пуанкаре доказал: эту проблему, равно как и общий случай задачи трех тел, нельзя решить классическими методами решения дифференциальных уравнений — в отличие от задачи двух тел (ее решили Ньютон, Бернулли и Эйлер), не все интегралы движения можно решить при помощи законов сохранения (энергии, импульса и так далее). Пуанкаре сделал вывод: какого-то одного общего решения задачи трех тел, выраженного в простых и привычных функциях, не существует.