Бабочка и ураган

Странный аттрактор — это аттрактор хаотической системы, которому свойственна фрактальная геометрия. Фрактал — это геометрический объект неправильной формы с бесконечным множеством деталей, обладающий самоподобием, и, скорее всего, имеющий дробную размерность. Странные аттракторы — сложные структуры, которые при последовательном увеличении демонстрируют самоподобие, свойственное фракталам: в них вновь и вновь проявляется одна и так же структура. Кроме того, многие из них имеют дробную размерность. Иными словами, если мы находимся на плоскости, то размерность нашего фрактального аттрактора будет больше 1, но меньше 2 и составит, к примеру, 1,5: аттрактор будет занимать больше пространства, чем кривая, но меньше, чем плоскость. Если мы находимся в пространстве, размерность фрактального аттрактора будет больше 2, но меньше 3 и составит, к примеру, 2,25: аттрактор будет занимать больше пространства, чем плоскость, но меньше, чем объемное тело. Таков смысл дробной размерности. К примеру, размерность аттрактора Лоренца примерно равна 2,06. Любопытно, что с момента открытия аттрактора Лоренца считалось, что он имеет «странный» характер (то есть является аттрактором хаотической системы и, возможно, имеет фрактальную геометрию), однако строгое математическое доказательство этого было найдено лишь в 2000 году. В 1998 году Стивен Смэйл предложил доказательство этого утверждения в качестве одной из открытых математических задач XXI столетия.

В 2002 году математик Уорвик Такер смог строго доказать существование аттрактора Лоренца в статье под названием «Аттрактор Лоренца существует». Аттрактор в форме бабочки, изображенный Лоренцем на экране компьютера, стал реальностью. Аналогичная ситуация произошла со странным аттрактором Эно, открытым с помощью компьютера в 1976 году: его существование было математически доказано лишь в 1987 году усилиями шведского математика Леннарта Карлесона, лауреата Абелевской премии 2006 года.

Странный аттрактор Уэды. Этот аттрактор, напоминающий водоворот, представляет собой сечение Пуанкаре для хаотической системы.

Слева направо и сверху вниз — последовательность увеличенных изображений аттрактора Эно. На всех иллюстрациях изображен один и тот же узор — складывающиеся кривые.

Судьба аттрактора Рёсслера, напротив, сложилась не столь удачно. Отто Рёсслер предложил ряд уравнений, описывающих химическую реакцию Белоусова — Жаботинского. Эта реакция протекает в колебательном режиме: участвующие в ней вещества непрерывно соединяются и распадаются, и в результате образуются удивительные узоры красно-синего цвета. Компьютерное моделирование решений системы дифференциальных уравнений обладало хаотическим поведением, подобным тому, что рассмотрел Аоренц при решении своей системы. Рёсслер, подобно Лоренцу, предположил, что в системе присутствует странный аттрактор — аттрактор Рёсслера, существование которого все еще не доказано. Никто до сих пор не знает, действительно ли посреди хитросплетения траекторий находится аттрактор Рёсслера или это всего лишь иллюзия, возникающая при компьютерном моделировании.

Странные аттракторы Лоренца (слева) и Рёсслера (справа). Существование последнего до сих пор математически не доказано.

Какое значение для динамики имеет фрактальная геометрия аттрактора? Можно предположить, что никакого, но это не так. Пуанкаре, Смэйл и Лоренц учат, что в основе любой динамики всегда лежит геометрия.

В классических аттракторах (фиксированных точках и предельных циклах — еще не так давно другие аттракторы были неизвестны) соседние орбиты всегда располагаются близко друг к другу, небольшие ошибки, как и предполагал Лаплас, заключены в определенных границах, таким образом, можно делать долгосрочные прогнозы. Если говорить о странных аттракторах, присущих хаотическим системам, то все обстоит иначе: две орбиты с близкими начальными условиями располагаются близко друг к другу лишь на коротком промежутке времени, после чего очень быстро отдаляются. Поведение соседних траекторий в странном аттракторе можно проиллюстрировать следующим экспериментом: если представить, что они действуют на маленькую каплю красящего вещества в жидкости, то капля постепенно примет форму очень длинной и тонкой нити, словно пронизывающей весь аттрактор.