Базы данных: конспект лекций

r₄(S₄) = r₁(S1) x r₂(S₂) = {t(S₁  S₂) | t [S₁] r₁ t(S₂) r₂}, S₁ S₂= ;

Теперь рассмотрим пример, чтобы показать, какой вид будет иметь результирующая схема отношения, при применении операции декартового произведения.

Пусть даны два отношения r₁(S1) и r₂(S₂), которые в табличном виде представляются следующим образом:

r₁(S₁):

r₂(S₂):

Итак, мы видим, что ни один из кортежей отношений r₁(S₁) и r₂(S₂), действительно, не совпадает в их пересечении. Поэтому в результирующее отношение r₄(S₄) попадут всевозможные пары кортежей первого и второго отношений-операндов. Получится:

r₄(S₄) = r₁(S1) x r₂(S₂):

Получилась новая схема отношения r₄(S₄) не «склеиванием» кортежей как в предыдущем случае, а перебором всех возможных различных пар несовпадающих в пересечении исходных схем кортежей.

Снова, как и в случае естественного соединения, приведем схематичный пример работы операции декартового произведения.

Пусть r₁ задано следующим условным образом:

А отношение r₂ задано:

Тогда их декартовое произведение схематично можно изобразить следующим образом:

Именно таким образом и получается результирующее отношение при применении операции декартового произведения.

3. Свойства бинарных операций

Из приведенных выше определений бинарных операций объединения, пересечения, разности, декартового произведения и естественного соединения следуют свойства.

1. Первое свойство, как и в случае унарных операций, иллюстрирует соотношение мощностей отношений:

1) для операции объединения:

|r₁  r₂| = |r₁| + |r₂|;

2) для операции пересечения:

|r₁ r₂ | =min(|r₁|, |r₂|);

3) для операции разности:

|r₁ \ r₂| = |r₁|;

4) для операции декартового произведения:

|r₁ x r₂| = |r₁| · |r₂|;

5) для операции естественного соединения:

|r₁ x r₂| = |r₁| · |r₂|.

Соотношение мощностей, как мы помним, характеризует, как меняется количество кортежей в отношениях после применения той или иной операции. Итак, что мы видим? Мощность объединения двух отношений r₁ и r₂ меньше суммы мощностей исходных отношений-операндов. Почему это происходит? Все дело в том, что при объединении совпадающие кортежи исчезают, накладываясь друг на друга. Так, обратившись к примеру, который мы рассматривали по прохождении этой операции, можно заметить, что в первом отношении было два кортежа, во втором – три, а в результирующем – четыре, т. е. меньше, чем пять (сумма мощностей отношений-операндов). По совпадающему кортежу {b, 2} эти отношения «склеились».

Мощность результата пересечения двух отношений меньше или равна минимальной мощности исходных отношений-операндов. Обратимся к определению этой операции: в результирующее отношение попадают только те кортежи, которые присутствуют в обоих отношениях исходных. А значит, мощность нового отношения никак не может превышать мощности того отношения-операнда, число кортежей которого наименьшее из двух. А равной этой минимальной мощности мощность результата быть может, так как всегда допускается случай, когда все кортежи отношения с меньшей мощностью совпадают с какими-то кортежами второго отношения-операнда.

В случае операции разности все достаточно тривиально. Действительно, если из первого отношения-операнда «вычесть» все кортежи, присутствующие также во втором отношении, то их количество (а следовательно, мощность) уменьшится. В том случае, если ни один кортеж первого отношения не совпадет ни с одним кортежем отношения второго, т. е. «вычитать» будет нечего, мощность его не уменьшится.

Интересно, что в случае применения операции декартового произведения мощность результирующего отношения в точности равна произведению мощностей двух отношений-операндов. Понятно, что это происходит потому, что в результат записываются все возможные пары кортежей исходных отношений, а ничего не исключается.

И, наконец, операцией естественного соединения получается отношение, мощность которого больше или равна произведения мощностей двух исходных отношений. Опять-таки это происходит потому, что отношения-операнды «склеиваются» по совпадающим кортежам, а несовпадающие – из результата исключаются вовсе.

2. Свойство идемпотентности:

1) для операции объединения: r r = r;

2) для операции пересечения: r r = r;

3) для операции разности: r \ r /= r;

4) для операции декартового произведения (в общем случае, свойство не применимо);

5) для операции естественного соединения: r x r = r.

Интересно, что свойство идемпотентности верно не для всех операций из приведенных, а для операции декартового произведения оно и вовсе не применимо. Действительно, если объединить, пересечь или естественно соединить какое-либо отношение само с собой, оно не изменится. А вот если отнять от отношения точно равное ему отношение, в результате получится пустое отношение.

3. Свойство коммутативности: