Базы данных: конспект лекций

Пусть нам даны два отношения r₁(S₁) и r₂(S₂) с различными схемами отношений S₁ и S₂, не пересекающимися друг с другом.

Так как мы уже оговаривали, что операции левого и правого внутреннего соединения являются производными, то мы можем получить следующие вспомогательные формулы для определения операции левого внешнего соединения:

1) r₃ (S₂  S₁) r₁(S₁) x _Pr₂(S₂);

r₃ (S₂  S₁) — это просто результат внутреннего соединения отношений r₁(S₁) и r₂(S₂). Левое внешнее соединение является производной операцией именно от операции внутреннего соединения, поэтому мы и начинаем наши построения с нее;

2) r₄(S₁) r₃(S₂S₁) [S₁];

Таким образом, с помощью унарной операции проекции, мы выделили все соединимые кортежи левого исходного отношения-операнда r₁(S₁). Результат обозначили r₄(S₁) для удобства применения;

3) r₅ (S₁) r₁(S₁) \ r₄(S₁);

Здесь r₁(S₁) — все кортежи левого исходного отношения-операнда, а r₄(S₁) – его же кортежи, только соединимые. Таким образом, при помощи бинарной операции разности, в отношении r₅(S₁) у нас получились все несоединимые кортежи левого отношения-операнда;

4) r₆(S₂) {(S₂)};

{(S₂)} — это новое отношение со схемой (S₂), содержащее всего один кортеж, причем составленный из Null-значений. Для удобства мы обозначили это отношение r₆(S₂);

5) r₇ (S₂  S₁) r₅(S₁) x r₆(S₂);

Здесь мы взяли полученные в пункте три, несоединимые кортежи левого отношения-операнда (r₅(S₁)) и дополнили их на схеме второго отношения-операнда S₂ Null-значениями, т. е. декартово умножили отношение, состоящее из этих самых несоединимых кортежей на отношение r₆(S₂), определенное в пункте четыре;

6) r₁(S1) ->x _P r₂(S₂) (r₁ x _Pr₂) r₇ (S₂ S₁);

Это и есть левое внешнее соединение, полученное, как можно видеть, объединением декартового произведения исходных отношений-операндов r₁ и r₂ и отношения r₇ (S₂ S₁), определенного в пункте пятом.

Теперь у нас имеются все необходимые выкладки для определения не только операции левого внешнего соединения, но по аналогии и для определения операции правого внешнего соединения. Итак:

1) операция левого внешнего соединения в строгом формулярном виде выглядит следующим образом:

r₁(S₁) ->x _Pr₂(S₂) (r₁ x _Pr₂) [(r₁ \ (r₁ x _Pr₂) [S₁]) x {(S₂)}];

2) операция правого внешнего соединения определяется подобным образом операции левого внешнего соединения и имеет следующий вид:

r₁(S₁) ->x _Pr₂(S₂) (r₁ x _Pr₂) [(r₂ \ (r₁ x _Pr₂) [S₂]) x {(S₁)}];

Эти две производные операции имеют всего два свойства, достойные упоминания.

1. Свойство коммутативности:

1) для операции левого внешнего соединения:

r₁(S₁) ->x _Pr₂(S₂) /= r₂(S₂) ->x _Pr₁(S₁);

2) для операции правого внешнего соединения:

r₁(S₁) -x _Pr₂(S₂) /= r₂(S₂) -x _Pr₁(S₁)

Итак, мы видим, что свойство коммутативности не выполняется для этих операций в общем виде, но при этом операции левого и правого внешнего соединения взаимно обратны друг другу, т. е. выполняется:

1) для операции левого внешнего соединения:

r₁(S₁) ->x _Pr₂(S₂) = r₂(S₂) ->x _Pr₁(S₁);

2) для операции правого внешнего соединения:

r₁(S₁) -x _Pr₂(S₂) = r₂(S₂) -x _Pr₁(S₁).

2. Основным свойством операций левого и правого внешнего соединения является то, что они позволяют восстановить исходное отношение-операнд по конечному результату той или иной операции соединения, т. е. выполняются:

1) для операции левого внешнего соединения:

r₁(S1) = (r₁ ->x _Pr₂) [S₁];

2) для операции правого внешнего соединения:

r₂(S₂) = (r₁-x _Pr₂) [S₂].

Таким образом, мы видим, что первое исходное отношение-операнд можно восстановить из результата операции левого правого соединения, а если конкретнее, то применением к результату этого соединения (r₁ x r₂) унарной операции проекции на схему S₁, [S₁].

И аналогично второе исходное отношение-операнд можно восстановить применением к результату операции правого внешнего соединения (r₁ x r₂) унарной операции проекции на схему отношения S₂.

Приведем пример для более подробного рассмотрения работы операций левого и правого внешних соединений. Введем уже знакомые нам отношения r₁(S₁) и r₂(S₂) с различными схемами отношения:

r₁(S₁):

r₂(S₂):

Несоединимый кортеж левого отношения-операнда r₂(S₂) – это кортеж {d, 4}. Следуя определению, именно им следует дополнить результат внутреннего соединения двух исходных отношений-операндов.

Условие внутреннего соединения отношений r₁(S₁) и r₂(S₂) также оставим прежнее: P = (b1 = b2). Тогда результатом операции левого внешнего соединения будет следующая таблица:

r₁(S₁) ->x _Pr₂(S₂):