Белый кролик, красный волк

— Я верил, что нет такого вопроса, на который математика не могла бы дать ответ, если достаточно хорошо разобраться в проблеме, — я горько вздохнул. — Но я был неправ. Математика не абсолютна. Есть вопросы, даже связанные с числами, на которые она не может ответить; уравнения, с которыми никак не разобраться, истинны они или ложны. Так что я в полной заднице. Гёдель доказал это в тридцатых годах, а я узнал только сейчас.

Бел медленно разминала костяшками пальцев левой руки ладонь правой. Она подняла глаза и тихо спросила:

— Как?

— Что?

— Как он это доказал?

— Тебе действительно интересно? — удивился я.

— Интересно ли мне, как какой-то немецкий задрот, откинувший коньки полвека назад, заставил моего мелкого братца, который до одури боится высоты, спрыгнуть с крыши семидесятипятифутового здания? — Ее тон был сухим, как хворост в костре. — Допустим, мне любопытно.

— Ты на восемь минут старше, — проворчал я. — И он был австрийцем.

— Пофиг. Давай, выкладывай. — Она внимательно наблюдала за мной. — Так, чтобы я поняла.

— Хорошо, — сказал я и сделал глубокий, болезненный вдох. — Я попробую. Первым делом нужно уяснить, — начал я, — что в математике, чтобы утверждать, что какое-либо утверждение истинно, его истинность необходимо доказать, и речь не о том, что можно увидеть в микроскоп. Нужна неоспоримость, а не эмпирические данные.

— Но как можно что-то доказать без доказательств?

— С помощью логики, — ответил я. — Есть основополагающие принципы, которые мы принимаем без доказательств, потому что… слишком больно сомневаться в них. Такие вещи, как один равняется одному, — я улыбаюсь ей, и мне хорошо. — В математике мы называем их аксиомами.

Она улыбнулась в ответ. Ей это нравилось.

— Чтобы доказать теорему, нужно выстроить цепочку пуленепробиваемых логических аргументов, которые будут отталкиваться только от этих аксиом, — продолжал я. — И вот эта логическая цепочка — она и становится доказательством. В течение двух тысяч лет блаженного неведения мы считали, что у каждого уравнения есть решение. Настоящие теоремы имели доказательства, подтверждающие их, а ложные — имели доказательства, их опровергающие. Мы верили в абсолютность математики. Что на любой вопрос, заданный математическим языком, можно дать ответ.

И был здесь только один изъян. Абсолют. А для абсолюта достаточно единственного контраргумента — единственного уравнения, с которым математике справиться не под силу, — чтобы разрушить его до основания. И Гёдель, — вчера мне лишь смутно было знакомо его имя, а сегодня оно оставляло привкус хлорки у меня во рту, — он нашел такой контраргумент.

Я пошарил вокруг и нашел ручку рядом с моей медицинской картой. И ручкой на бледно-голубой простыне больничной койки я написал:

Данное утверждение — ложь.

А потом зачеркнул последнее слово и добавил:

Данное утверждение ложь недоказуемо.

— Вот, — процедил я, откидываясь на подушки. — Это нельзя доказать, потому что, доказав, что это правда, ты докажешь, что это ложь. Значит, это будет правдой, даже если мы никогда не сможем это доказать. Проблема неразрешима, вечно в подвешенном состоянии, как монетка, которая всегда встает на ребро. Если Гёдель смог составить уравнение, которое выражает это, то сама математика оказалась фундаментально ограничена.

— А он смог? — Взгляд Бел был сосредоточенным.

Я кивнул.

— В три этапа. Шаг первый: шифрование. Он создал код, который преобразовал уравнения — теоремы и их доказательства — в числа. Таким образом, доказательство — связь между теоремами и доказательствами — превратилось в арифметическое отношение между числами.

Шаг второй: инверсия. В противоположность этому отношению он выдвинул отношение недоказуемости. И вывел такое уравнение, которое, будучи зашифрованным, имело аналогичное отношение ко всем числам, — уравнение, для которого доказательство было невозможно.

Шаг третий: рекурсия. Откат. Он определил недоказуемое уравнение как уравнение, которое утверждает, что это недоказуемое уравнение не имеет доказательств. Оно возражает само себе. Пожирает свой собственный хвост. Безумно просто и так красиво.

На простыне под «Данное утверждение ложь недоказуемо» я нацарапал:

— И все, — сказал я. — Недоказуемое уравнение. И вот это уже гребаная катастрофа, потому что если одно уравнение может быть недоказуемым, то любое уравнение может быть недоказуемым. Любая задача, которую мы пытаемся решить, может отнять у нас всю оставшуюся жизнь. Математика себя не оправдывает. Она не всегда применима, а вне математики нет ничего, что могло бы нас подготовить заранее к тому моменту, когда она подведет.

Я замолчал, хватая ртом воздух. Высказав это вслух, я почувствовал тошноту. «Три шага», — подумал я. Шифр, инверсия, откат — вот так ты уничтожил весь мир.

За все это время Бел не проронила ни слова, но в конце концов, похоже, решила прояснить ситуацию.