Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Помня об этом, давайте вернемся к притче о многоугольнике с бесконечно большим количеством углов. Нужно ли сделать решительный шаг и сказать, что круг – это действительно многоугольник с бесконечно большим количеством бесконечно малых сторон? Нет. Мы не должны поддаваться искушению и так поступать, поскольку это означает впасть в грех актуальной бесконечности. Это обрекло бы нас на логический ад.

Чтобы понять, почему, предположим, что мы на миг подумали, будто круг – на самом деле многоугольник с бесконечным числом углов и бесконечно малыми сторонами. Какова длина этих сторон? Если она равна 0, то общая длина всех сторон – бесконечность, умноженная на 0, – должна давать длину окружности. Но представьте окружность вдвое большего размера. Точно так же ее длина должна равняться бесконечности, умноженной на 0. Получается, бесконечность, умноженная на 0, должна равняться и длине нашей окружности, и вдвое большему числу. Что за ерунда? Не существует разумного способа определить результат умножения бесконечности на ноль, а потому нет разумного способа рассматривать круг как правильный многоугольник с бесконечным числом сторон.

Тем не менее в таком интуитивном представлении есть нечто искушающее. Подобно библейскому первородному греху, по той же причине трудно сопротивляться и первородному греху анализа – соблазну считать, что круг – это правильный многоугольник с бесконечным числом сторон. Он соблазняет нас запретным знанием, идеями, недоступными для обычных средств. На протяжении тысячелетий геометры пытались вычислить длину окружности. Если бы круг можно было заменить многоугольником со множеством крохотных прямых сторон, задача была бы гораздо проще.

Прислушиваясь к шипению этого змея-искусителя – но все же сдерживаясь, используя потенциальную бесконечность вместо более заманчивой актуальной, – математики научились решать задачу о длине окружности и другие загадки кривых. В следующих главах мы узнаем, как им это удалось, а пока попробуем еще глубже понять, насколько опасной может быть актуальная бесконечность. Этот грех ведет ко многим другим, включая тот, о котором учителя предупреждали нас в первую очередь.

Грех деления на ноль

Во всем мире школьников учат, что делить на ноль нельзя. Должно быть, они шокированы существованием такого табу. Предполагается, что числа дисциплинированны и хорошо себя ведут. Урок математики – место для логики и рассуждений. И все же можно задавать о числах простые вопросы, на которые нет ответов, или пытаться сделать с ними простые вещи, которые не работают или не имеют смысла. Деление на ноль – одна из них.

Корень проблемы – в бесконечности. Деление на ноль вызывает бесконечность примерно так же, как доска для спиритических сеансов – духов из другого мира. Это рискованно. Не ходите туда.

Тем, кто не в силах сопротивляться искушению и желает понять, почему в тенях скрывается бесконечность, советуем поделить 6 на какое-нибудь маленькое число, близкое к нулю, но не равное ему, например 0,1. В этом ничего запретного нет. Если разделить 6 на 0,1, получится 60, довольно прилично. Поделим 6 на еще меньшее число, скажем 0,01; ответ будет больше – 600. Если мы отважимся разделить 6 на число, которое гораздо ближе к 0, допустим, на 0,0000001, то ответ будет еще больше и составит 60 000 000. Тенденция ясна. Чем меньше знаменатель, тем больше частное. В пределе, когда знаменатель приближается к нулю, частное стремится к бесконечности. Вот настоящая причина, почему нельзя делить на 0. Малодушные говорят, что ответ неопределенный, но на самом деле он бесконечный.

Все это можно представить себе следующим образом. Вообразите, что вы делите 6-сантиметровую линию на части длиной 0,1 сантиметра. Получается 60 кусков, уложенных вплотную друг к другу.

Точно так же (но я не буду пробовать это нарисовать) эту линию можно поделить на 600 частей по 0,01 сантиметра или на 60 000 000 частей по 0,0000001 сантиметра.

Если мы продолжим и доведем это безумное деление до предела, то придем к заключению, что наша 6-сантиметровая линия состоит из бесконечного числа частей нулевой длины. Возможно, это звучит правдоподобно. В конце концов, линия состоит из бесконечного количества точек, и каждая точка имеет нулевую длину.

Но с философской точки зрения нервирует то, что аналогичное рассуждение можно применить к линии любой длины. В самом деле, в числе 6 нет ничего особенного. Мы могли бы с равным успехом утверждать, что линия длиной 3 сантиметра, или 49,57, или 2 000 000 000 состоит из бесконечного числа точек нулевой длины. Очевидно, что умножение 0 на бесконечность может дать нам любой мыслимый результат – 6, 3, 49,57 или 2 000 000 000. С математической точки зрения это ужасно.

Грех актуальной бесконечности