Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Мы узнали, что дробь 1/3 можно записать как 0,333…, где многоточие означало, что тройки повторяются до бесконечности. Это имело для меня смысл, потому что, пытаясь поделить 1 на 3 в столбик, я застрял в бесконечном цикле: 1 меньше 3, поэтому получаем в частном ноль целых, дописываем к единице 0, делим 10 на 3, получаем 3 и остаток 1; в итоге нужно снова делить 1 на 3, то есть мы возвращаемся к тому, с чего начали. Выхода из цикла не было, а значит, тройки при делении будут повторяться: 0,333…

Многоточие после 0,333 истолковывается двумя способами. Наивное толкование состоит в том, что существует буквально бесконечное количество троек, находящихся справа от десятичной запятой вплотную друг к другу. Конечно, мы не можем записать их все, раз их бесконечно много, но с помощью многоточия показываем, что они там есть, по крайней мере в нашей голове. Я назову такую интерпретацию актуальной бесконечностью Преимущество ее в том, что она выглядит простой и здравой, пока мы не желаем особо задумываться о том, что означает бесконечность.

Более изящное толкование состоит в том, что 0,333… представляет собой некоторый предел – в точности такой же, как предельный прямоугольник для наших фигур в доказательстве с пиццей или стена для незадачливого путешественника. Только здесь 0,333… отображает предел последовательных десятичных чисел, которые мы генерируем при делении 1 на 3. Чем больше этапов в процессе деления, тем больше троек в десятичном разложении 1/3. Мы можем получить сколь угодно хорошее приближение к 1/3. Если нам не нравится 1/3 ≈ 0,3, мы можем сделать еще шаг и получить 1/3 ≈ 0,33 и так далее. Я назову это толкование потенциальной бесконечностью Она «потенциальна» в том смысле, что приближения можно получать сколь угодно долго. Ничто не мешает сделать миллион, миллиард или любое иное количество шагов. Преимущество этого толкования в том, что нам незачем прибегать к такому туманному понятию, как бесконечность. Мы всегда можем оставаться в области конечного.

Для работы с равенством вида 1/3 = 0,333… не имеет значения, какой точки зрения мы придерживаемся. Они одинаково состоятельны и дают одни и те же математические результаты в любых нужных нам вычислениях. Однако в математике существуют ситуации, когда понятие актуальной бесконечности может вызвать логический хаос. Именно это я подразумевал, когда писал во введении о големе бесконечности. Иногда действительно важно, как мы думаем о результатах процесса, приближающегося к какому-то пределу. Делая вид, что процесс в реальности заканчивается и каким-то образом достигает нирваны бесконечности, подчас можно попасть в неприятную ситуацию.

Притча о многоугольнике с бесконечным числом углов

В качестве примера возьмем круг, расставим на его границе (окружности) через равные промежутки определенное количество точек и соединим их отрезками. При трех точках получим равносторонний треугольник, при четырех – квадрат, при пяти – правильный пятиугольник и так далее, последовательно получая все новые правильные многоугольники.

Обратите внимание, что чем больше точек мы используем, тем ближе наш многоугольник к кругу. При этом стороны многоугольников становятся все короче и многочисленнее. Наш круг – предел для построенных многоугольников.

Таким образом, бесконечность снова соединяет два мира. На этот раз она ведет нас от прямолинейности к криволинейности, от угловатых фигур к гладкому кругу, тогда как в случае с пиццей бесконечность, наоборот, преобразовала круг в прямоугольник.

Конечно же, на любом шаге многоугольник по-прежнему остается многоугольником. Это еще не круг и никогда им не станет. Фигуры приближаются к кругу, но никогда не совпадут с ним. Здесь мы имеем дело с потенциальной бесконечностью, а не с актуальной. Так что с логической точки зрения все безукоризненно.

Но что, если бы мы могли пройти весь путь до актуальной бесконечности? Был бы итоговый многоугольник с бесконечным количеством углов и бесконечно короткими сторонами кругом? Заманчиво так думать, ведь тогда многоугольник окажется гладким. Все углы будут сошлифованы. Все станет идеальным и красивым.

Очарование и опасность бесконечности

Здесь заложен общий принцип: пределы часто проще, чем приближения, ведущие к ним. Круг проще и изящнее, чем любой из угловатых многоугольников, к нему приближающих. То же самое относится и к доказательству с помощью пиццы, где предельный прямоугольник проще и элегантнее, нежели бугристые фигуры с некрасивыми выступами, и к дроби 1/3. Это проще и приятнее, нежели любое из неуклюжих приближений с большими числителями и знаменателями вроде 3/10, 33/100 или 333/1000. Во всех этих случаях предельная фигура или число проще и симметричнее, чем конечные приближения.

В этом и состоит очарование бесконечности. Здесь все становится лучше.