Бесконечный регресс и основания математики

1) Подобно тому, как Ньютон надеялся объяснить закон всемирного тяготения принципом картезианской толчковой механики, Рассел надеялся на тривиализацию аксиомы редуцируемости. "Хотя кажется весьма невероятным, ― писал он, ― что эта аксиома оказалась бы ложной, ни в коей мере не невероятно, что будет обнаружено, что она дедуцируема из других более фундаментальных и более очевидных аксиом" (Russell, Whitehead, 1925, р. 59-60). Позже он отказался от этой надежды: "С чисто логической точки зрения, я не вижу каких-либо причин верить, что аксиома редуцируемости логически необходима… Включение этой аксиомы в систему логики есть, следовательно, дефект, даже если аксиома эмпирически истинна" (Russell, 1919, р. 193).

Рассел описал эту стандартную схему рассуждений в отношении аксиомы о параллельных (Russell, 1903, § 353):

"С кантианской точки зрения было необходимо поддерживать, что все аксиомы самоочевидны ― точка зрения, которую честным людям трудно было распространить на аксиому о параллельных. Отсюда возникал поиск более правдоподобных (plausible) аксиом, которые могли бы быть объявлены истинами а priori. Но хотя много таких аксиом было предложено, все они по здравому разумению могли бы быть поставлены под сомнение, и этот поиск вел только к скептицизму."

Согласился ли бы он с тем, что его поиск "правдоподобных" логических аксиом, "которые могли бы быть объявлены истинами а priori", вел только к скептицизму?

В случае с теорией типов Рассел снова впал в "резиновый евклидианизм". Он был убежден, что существовало тривиальное решение "парадокса Рассела". Это оставалось, конечно, весьма смутной надеждой, поскольку здесь в отличие от изощренного парадокса Бурали – Форти было показано, что самые тривиальные общедоступные утверждения противоречивы, и, чтобы улучшить ситуацию, надо было допустить, что отрицание некоторой аксиомы здравого смысла истинно. Решение Цермело ― сознательно принять отрицание принципа абстракции*[23], выглядевшего тривиально истинным, ― было в этом направлении. Однако евклидиански мыслящий Рассел отбросил такое решение. Он никогда не примирялся с аксиоматической теорией множеств. Рассел полагал, что, только приложив усилия, очищающие наш здравый смысл от ошибок, мы, когда естественный свет разума снизойдет на нас, увидим (снова схема XVII в.) что, конечно же, что-то очевидно все время неправильно в рассуждении. В то время как Рассел грешил на лемму в доказательстве и заявлял, что она не тривиально истинная, а тривиально ложная, он, возможно, потому что ему как евклидианцу стало слишком трудно обманывать себя, открыл, что можно заменить этот de facto детривиализующий метод на другой: виновная лемма не тривиально ложна, а тривиально бессмысленна ― только это не приходило нам в голову, пока мы не посмотрели на нее с этой точки зрения. Так что теперь мы сначала должны посмотреть, является ли высказывание осмысленным или оно бессмысленный монстр. Если оно бессмысленно, то оно не может быть истинным или ложным, но если мы не проверяем его на осмысленность, а сразу проверяем на истинность, то мы можем поддаться заблуждению, принимая его за тривиально истинное.

Этот "метод исключения монстров" ― стандартный евклидианский защитный механизм, правда, обычно бесплодный. Тем не менее он стал главным принципом логического позитивизма, явившегося уродливым обобщением расселовской теории типов. Главная опасность этого метода состоит в том, что изощренные жизненно важные допущения прячутся в определения, т.е. остаются за фасадом концептуальной структуры. В метаматематической терминологии теория типов ― часть правил образования (касающихся того, что составляет правильно построенную формулу), а не аксиом. Мы можем усмотреть значимость этого шага, обращаясь к защите логицизма, предпринятой Кемени. В его полупопулярной книжке говорится (Kemeny, 1959, р. 21):

"Математика проявляет себя не более чем высокоразвитой логикой. В этом процессе появляются два новых логических принципа ― аксиомы бесконечности и выбора, чья в чем-то спорная природа не должна нас здесь смущать. Давайте довольствоваться тем, что при признании этих аксиом двумя легитимными логическими принципами, как признает их большинство логиков, вся математика становится лишь логикой повышенного типа".