Бесконечный регресс и основания математики

Это четырехвековое отступление, кажется, полностью прошло мимо математиков. Евклидианцы сохранили здесь свою первоначальную сильную позицию. Беспорядок в анализе в XVIII в. был, конечно, неприятным фактом. Начиная, однако, с революции в строгости, отмеченной именем Коши, они медленно, но верно, пошли к сияющим высотам. Путем евклидианизации, причем сознательной евклидианизации, Коши и его последователи совершили чудо: они обратили "ужасающую путаницу анализа" (Abel, 1826, p. 263) в кристаллически ясную евклидианскую теорию. "Эта великая школа математиков, сформулировав начальные определения, спасла математику от скептицизма и построила строгое доказательство (demonstration) её высказываний" (Ramsey, 1931, p. 56).[15] Математика была тривиализована, выведена из неоспоримых, тривиальных аксиом, в которых фигурировали лишь абсолютно ясные тривиальные термины и из которых истина текла вниз по ясным каналам. Понятия "непрерывность", "предел" и т.д. были определены в терминах таких понятий, как "натуральное число", "класс", "или" и т.д. "Арифметизация математики" была самым удивительным евклидианским достижением. Даже эмпирицисты были вынуждены допустить, что Евклид, этот "злой гений" науки, должен быть признан "добрым гением" математики (Braithwaite, 1953, p. 353). Действительно, новейшие логические эмпирики были далеко не радикальными эмпириками в естественных науках (большинство из них индуктивисты), но радикальными евклидианцами в математике. Твердокаменные евклидианцы (такие, как молодой Рассел), однако, никогда не удовлетворялись этим ограниченным царством: они упорно работали над полной реализацией своей программы в математике в надежде вернуть утраченные территории, т.е. евклидизировать и тривиализовать весь универсум знания.

Не было еще евклидианской теории, которая устояла бы перед лицом скептической критики. Причем наиболее чувствительные доводы против математического догматизма исходили из мучительных сомнений самих догматиков: "Действительно ли мы достигли терминов-примитивов? Действительно ли мы достигли аксиом? Действительно ли наши каналы сохраняют истинность?" Эти вопросы играли решающую роль в великой работе, предпринятой Фреге и Расселом, чтобы вернуться к еще более фундаментальным первым принципам, нежели аксиомы арифметики Пеано.*[16] Я сконцентрирую особое внимание на подходе Рассела и покажу, как потерпела неудачу его исходная евклидианская программа, каким образом он был отброшен назад к индуктивизму и каким образом он предпочел сбиться с пути, чем признать и принять тот факт, что интересное в математике предположительно.

Главная проблема философии Рассела ― спасти Знание от скептиков. "Скептицизм, являясь логически непогрешимым, психологически неприемлем; во всякой философии, которая намерена принять его, присутствует элемент легкомысленного лукавства" (Russell, 1948, p. 9).*[17]В юности он пытался избежать скептицизма с помощью далеко идущей евклидианской программы. Его "философское развитие"*[18] было постоянным и постепенным отступлением от евклидианизма, храбрым сражением за каждый дюйм оставляемой территории и попытками спасти столько достоверности, сколько можно.

Интересно вспомнить оптимизм его ранних планов. Рассел полагал, что прежде чем "распространять сферу достоверности на другие науки", он обязан добиться "совершенной математики, не оставляющей места сомнению" (Russell, 1959, p. 36). Для этого придется "опровергнуть математический скептицизм" (ibid, р. 209) и таким образом сохранить евклидианский плацдарм для организации дальнейшего общего наступления. Таким образом, отправным пунктом философской карьеры Рассела было упрочение математики в качестве евклидианского плацдарма.