Большая книга занимательных наук

Поступим же по примеру Архимеда, но вместо «исчисления песчинок» произведем «исчисление электронов». Вы уже знаете, что электрон меньше песчинки примерно во столько же раз, во сколько раз песчинка меньше земного шара. Для радиуса видимой Вселенной примем расстояние в миллиард световых лет. Так как свет пробегает в секунду 300 000 км, а в году 31 миллион секунд, то можно считать, что световой год равен круглым счетом 10 биллионам километров (гнаться за большей точностью здесь бесполезно). Значит, для радиуса всей известной нам Вселенной получаем величину 10 миллиардов биллионов километров, или, прибегая к способу изображения числовых великанов, объясненному раньше, 1022 км.

Объем шара такого радиуса можно вычислить по правилам геометрии: он равен (с округлением) 44 · 1066 куб. км. Умножив это число на число кубических сантиметров в кубическом километре (1015), получим для объема видимой Вселенной величину 1081 куб. см (небезынтересно отметить, что Архимед в своем исчислении песчинок определял объем Вселенной в 5 · 1054 куб. см).

Теперь представим себе, что весь этот объем сплошь заполнен самыми тяжелыми из известных нам атомов – атомами элемента урана, которых идет на грамм около 1022 штук. Их поместилось бы в шаре указанного объема 10103 штуки. Дознано, что в каждом атоме урана содержится 238 электронов (внешних и внутренних). Поэтому во всей доступной нашему исследованию Вселенной могло бы поместиться не более 10106 электронов.

Число, состоящее «всего лишь» из 107 цифр… Как это мизерно по сравнению с нашим числовым великаном почти из 370 миллионов цифр!

Вы видите, что, наполняя сплошь видимую Вселенную электронами, мы не исчерпали и небольшой доли того исполинского числа, которое скромно скрывается под изображением:

Познакомившись с этим замаскированным гигантом, обратимся к его противоположности.

Соответствующий числовой лилипут получится, если разделим единицу на это число. Будем иметь:

что равно:

Мы имеем здесь знакомое нам огромное число в знаменателе. Сверхвеликан превратился в сверхлилипута.

Необходимо сделать существенное замечание о великане из трех девяток. Я получил немало писем от читателей с утверждением, что выражение это вовсе не так трудно вычислить; ряд читателей даже выполнили требуемый расчет, употребив на него сравнительно немного времени. Результат оказался несравненно скромнее того, о котором у меня рассказано. В самом деле, пишут они,

99= 387 420 489;

возвысив же 387 420 489 в 9-ю степень, получаем число «всего лишь» из 72 цифр. Это хотя и не мало, но до 370 миллионов цифр от него еще очень далеко…

Читатели недоумевают, а между тем ошибка их в том, что ими неправильно понят смысл трехъярусного выражения из девяток. Они понимают его так:

в то время как правильное его понимание иное:

Отсюда огромная разница в итогах вычисления.

Оба способа понимания приводят к одинаковому результату только в одном случае: когда мы имеем выражение

Тут безразлично, как вести вычисление: в обоих случаях получается один результат – 16.

Любопытно, что сейчас приведенное выражение вовсе не означает самого большого числа, какое можно изобразить тремя двойками. Можно получить гораздо большее число, если расположить двойки так:

22.

Это выражение равно 4 194 304, то есть значительно больше 16. Как видите, третья сверхстепень не во всех случаях выражает наибольшее число, какое можно изобразить тремя одинаковыми цифрами.

Из книги «Живая математика. Математические рассказы и головоломки»

Завтрак с головоломками

1. Белка на поляне

– Сегодня утром я с белкой в прятки играл, – рассказывал во время завтрака один из собравшихся за столом дома отдыха. – Вы знаете в нашем лесу круглую полянку с одинокой березой посредине? За этим деревом и пряталась от меня белка. Выйдя из чащи на полянку, я сразу заметил беличью мордочку с живыми глазками, уставившуюся на меня из-за ствола. Осторожно, не приближаясь, стал я обходить по краю полянки, чтобы взглянуть на зверька. Раза четыре обошел я дерево – но плутовка отступала по стволу в обратную сторону, по-прежнему показывая только мордочку. Так и не удалось мне обойти вокруг белки.

– Однако, – возразил кто-то, – сами же вы говорите, что четыре раза обошли вокруг дерева.

– Вокруг дерева, но не вокруг белки!

– Но белка-то на дереве?

– Что же из того?

– То, что вы кружились и вокруг белки.

– Хорошо кружился, если ни разу не видел ее спинки.

– При чем тут спинка? Белка в центре, вы ходите по кругу, значит, ходите вокруг белки.

– Ничуть не значит. Вообразите, что я хожу около вас по кругу, а вы поворачиваетесь ко мне все время лицом, пряча спину. Скажете вы разве, что я кружусь вокруг вас?

– Конечно, скажу. Как же иначе?

– Кружусь, хотя не бываю позади вас, не вижу вашей спины?

– Далась вам спина! Вы замыкаете вокруг меня путь – вот в чем суть дела, а не в том, чтобы видеть спину.