Большая книга занимательных наук

Как вы это делаете? Теперь это уже достаточно ясно. Когда ваш приятель сообщает вам о действиях, которые он выполняет над задуманным числом, вы одновременно действуете в уме с неизвестным х Он вам говорит: «Я задумал число…», а вы про себя твердите: «значит, у нас есть х». Он говорит: «…умножил его на 2…» (и он в самом деле производит умножение чисел), а вы про себя продолжаете: «теперь 2х». Он говорит: «…прибавил к результату 3…», и вы немедленно следите: 2х + 3, и т. д. Когда он «запутал» вас окончательно и выполнил все те действия, которые перечислены выше, у вас получилось то, что указано в следующей таблице (левая колонка содержит то, что вслух говорит ваш приятель, а правая – те действия, которые вы выполняете в уме):

В конце концов вы про себя подумали: окончательный результат 8х + 9. Теперь он говорит: «У меня получилось 49». А у вас готово уравнение: 8х + 9 = 49. Решить его – пара пустяков, и вы немедленно сообщаете ему, что он задумал число 5.

Фокус этот особенно эффектен потому, что не вы предлагаете те операции, которые надо произвести над задуманным числом, а сам товарищ ваш «изобретает» их.

Есть, правда, один случай, когда фокус не удается. Если, например, после ряда операций вы (считая про себя) получили х + 14, а затем ваш товарищ говорит: «…теперь я отнял задуманное число; у меня получилось 14», то вы следите за ним: (х + 14) – х = 14 – в самом деле получилось 14, но никакого уравнения нет и отгадать задуманное число вы не в состоянии. Что же в таком случае делать? Поступайте так: как только у вас получается результат, не содержащий неизвестного х, вы прерываете товарища словами: «Стоп! Теперь я могу, ничего не спрашивая, сказать, сколько у тебя получилось: у тебя 14». Это уже совсем озадачит вашего приятеля – ведь он совсем ничего вам не говорил! И, хотя вы так и не узнали задуманное число, фокус получился на славу!

Вот пример (по-прежнему в левой колонке стоит то, что говорит ваш приятель):

В тот момент, когда у вас получилось число 12, т. е. выражение, не содержащее больше неизвестного х, вы и прерываете товарища, сообщив ему, что теперь у него получилось 12.

Немного поупражнявшись, вы легко сможете показывать своим приятелям такие «фокусы».

Уравнение думает за нас

Если вы сомневаетесь в том, что уравнение бывает иной раз предусмотрительнее нас самих, решите следующую задачу.

Отцу 32 года, сыну 5 лет. Через сколько лет отец будет в 10 раз старше сына?

Обозначим искомый срок через х. Спустя х лет отцу будет 32 + х лет, сыну 5 + х. И так как отец должен тогда быть в 10 раз старше сына, то имеем уравнение

32 + х= 10– (5 +х).

Решив его, получаем х = —2.

«Через минус 2 года» означает «два года назад». Когда мы составляли уравнение, мы не подумали о том, что возраст отца никогда в будущем не окажется в 10 раз превосходящим возраст сына – такое соотношение могло быть только в прошлом. Уравнение оказалось вдумчивее нас и напомнило о сделанном упущении.

Цифры 1, 5 и 6

Вероятно, все заметили, что от перемножения ряда чисел, оканчивающихся единицей или пятеркой, получается число, оканчивающееся той же цифрой. Менее известно, что сказанное относится и к числу 6. Поэтому,

между прочим, всякая степень числа, оканчивающегося шестеркой, также оканчивается шестеркой. Например, 462 = 2116; 463 = 97 3 36.

Эту любопытную особенность цифр 1, 5 и 6 можно обосновать алгебраическим путем. Рассмотрим ее для 6.

Числа, оканчивающиеся шестеркой, изображаются так:

10а + 6, 10 b + 6 и т. д.,

где а и b — целые числа.

Произведение двух таких чисел равно

100 ab + 60 b + 60а + 36 = 10 · (10 ab + 6Ь + 6 а) + 30 + 6 = 10 · (10 ab + 6Ь + 6а + 3) + 6.

Как видим, произведение составляется из некоторого числа десятков и из цифры 6, которая, разумеется, должна оказаться на конце.

Тот же прием доказательства можно приложить к

1 и к 5.

Сказанное дает нам право утверждать, что, например,

Числа 25 и 76

Имеются и двузначные числа, обладающие тем же свойством, как и числа 1, 5 и 6. Это число 25 и – что, вероятно, для многих будет неожиданностью, – число 76. Всякие два числа, оканчивающиеся на 76, дают в произведении число, оканчивающееся на 76.

Докажем это. Общее выражение для подобных чисел таково:

100а + 76, 1006 + 76 и т. д.

Перемножим два числа этого вида; получим:

10 000 ab + 76006 + 7600а + 5776 = 10 000аб + 76006 + 7600а + 5700 + 76 = 100 · (100аб + 766 + 76а + 57) + 76.

Положение доказано: произведение будет оканчиваться числом 76.

Отсюда следует, что всякая степень числа, оканчивающегося на 76, есть подобное же число:

3762= 14 1 376, 5763= 191 102 9 76 и т. п.

Бесконечные «числа»

Существуют и более длинные группы цифр, которые, находясь на конце чисел, сохраняются и в их произведении. Число таких групп цифр, как мы покажем, бесконечно велико.