Большая Советская Энциклопедия (АН)

  Дифференцируя уравнения Коши — Римана, нетрудно усмотреть, что действительная и мнимая части функции f = j+iy, аналитичны в области D, удовлетворяют в этой области уравнению Лапласа:

т. е. являются гармоническими функциями. Две гармонические функции, связанные между собой уравнениями Коши — Римана, называются сопряжёнными. В односвязной области D любая гармоническая функция j имеет сопряжённую функцию y и является, тем самым, действительной частью некоторой аналитической в D функции f. Связи с конформными отображениями и гармоническими функциями лежат в основе многих приложений теории А. ф.

  Всё сказанное выше относилось к однозначным А. ф. f рассматриваемым в данной области D комплексной плоскости. Задаваясь вопросом о возможности продолжения функции f как А. ф. в большую область, приходят к понятию А. ф., рассматриваемой в целом — во всей своей естественной области существования. При таком продолжении данной функции область её аналитичности, расширяясь, может налегать сама на себя, доставляя новые значения функции в точках плоскости, где она уже была определена. Поэтому А. ф., рассматриваемая в целом, вообще говоря, оказывается многозначной. К необходимости изучения многозначных А. ф. приводят многие вопросы теории функций (обращение функций, нахождение первообразных и построение А. ф. с заданной действительной частью — в многосвязных областях, решение алгебраических уравнений с аналитичными коэффициентами и др.); такими функциями являются

  алгебраические функции и т. д. Регулярный процесс, приводящий к полной А. ф., рассматриваемой в своей естественной области существования, был указан К. Вейерштрассом; он носит название аналитического продолжения по Вейерштрассу.

  Исходным является понятие элемента А. ф. — степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости. Такой элемент W: a + a₁(z - z) + a₂(z - z)² + ... + a_n(z - z)ⁿ + ... определяет некоторую А. ф. f в своём круге сходимости K. Пусть z₁ — точка круга K, отличная от z. Разлагая функцию f в ряд Тейлора с центром в точке z₁, получают новый элемент W₁:

b + b₁(z -z₁) + b₂(z- z₁)² + ... +b_n (z— z₁)ⁿ + ... ,

  круг сходимости которого обозначают через K₁. В общей части кругов K и K₁ ряд W₁ сходится к той же функции, что и ряд W. Если круг K₁ выходит за пределы круга K, то ряд W₁ определяет функцию, заданную посредством W, на некотором множестве вне K (где ряд W расходится). В этом случае элемент W₁ называется непосредственным аналитичным продолжением элемента W. Пусть W, W₁ ..., W_N — цепочка элементов такая, что W_i+1 является непосредственным аналитичным продолжением W_i (i = 1, ..., N — 1); тогда элемент W_N называется аналитичным продолжением элемента W (посредством данной цепочки элементов). Может оказаться так, что центр круга K_N принадлежит кругу K, но элемент W_N не является непосредственным аналитичным продолжением элемента W. В этом случае суммы рядов W и W_N в общей части кругов K и K_N имеют различные значения; тем самым аналитичное продолжение может привести к новым значениям функции в круге K.

  Совокупность всех элементов, которые могут быть получены аналитичным продолжением элемента W, образует полную А. ф. (в смысле Вейерштрасса), порожденную элементом W; объединение их кругов сходимости представляет собой (вейерштрассову) область существования этой функции. Из теоремы единственности А. ф. следует, что А. ф. в смысле Вейерштрасса полностью определяется заданием элемента W При этом в качестве исходного может быть взят любой др. элемент, принадлежащий этой функции; полная А. ф. от этого не изменится.

  Полная А. ф. f, рассматриваемая как функция точек плоскости, принадлежащих её области существования D, вообще говоря, является многозначной. Чтобы избавиться от многозначности, функцию f рассматривают не как функцию точек плоской области D, а как функцию точек некоторой (лежащей над областью D) многолистной поверхности R такой, что каждой точке области D соответствует столько (проектирующихся в неё) точек поверхности R, сколько различных значений принимает функция f в этой точке: на поверхности R функция f становится однозначной функцией. Идея перехода к таким поверхностям принадлежит Б. Риману, а сами они называются римановы поверхности. Схематическое изображение римановых поверхностей функций  приведены на рис. 1 и 2 (соответственно). Абстрактное определение понятия римановой поверхности позволило заменить теорию многозначных А. ф. теорией однозначных А. ф. на римановых поверхностях.