Большая Советская Энциклопедия (ДО)

  Но этот пересмотр понятия Д., произведённый на рубеже 19 и 20 вв. Д. Гильбертом, не был до конца последовательным. В связи с обострившимися проблемами непротиворечивости научных теорий (уверенность в которой уже не могла больше базироваться на уверенности в истинности исходных положений теории), Гильберт выдвинул программу формализации Д. дедуктивных теорий, предполагающую не только явное указание всех исходных понятий и исходных предложений (аксиом) каждой данной теории, но и такое же явное указание всех используемых в выводах (в частности, в Д.) этой теории логических средств. При такой постановке вопроса проблема убедительности (правильности) Д. получает (впервые!) совершенно объективный характер. Д. (точнее, формальное Д.) рассматривается просто как «строчка формул», каждая из которых есть либо аксиома (т. е. принадлежит к некоторому заранее выделенному списку «отмеченных» формул), либо непосредственно следует по одному из правил вывода (также точно перечисленных) из предыдущих формул строчки. Заключение данного Д. — это просто его последняя формула (в частности, Д. любой аксиомы состоит всего из одной формулы — из неё самой). При такой трактовке рассматриваемая научная теория перестаёт быть теорией в привычном смысле: она оказывается представленной в виде исчисления, или формальной системы, состоящей из формул, получающихся из формул некоторого исходного запаса (аксиом) посредством чисто «механического» применения правил вывода (применение которых, равно как и проверка правильности этого применения, не предполагает никакого «содержательного» их понимания). Формула, для которой существует формальное Д., называется доказуемой формулой, или формальной теоремой.

  Т. о., реализация этой части гильбертовской программы позволила осуществить идеал, выдвинутый ещё Г. В. Лейбницем: «заменить рассуждение вычислением». Для проверки того обстоятельства, является ли данная строчка формул Д., существует простой, единообразный и притом чисто механический метод — алгоритм. Для выяснения того, является ли произвольная данная формула теоремой, такой алгоритм возможен лишь для немногих, относительно простых формальных теорий, но это обстоятельство не исключает возможности машинного поиска вывода (поиска Д.) для многих важных классов формул, и разработка таких машинных алгоритмов вывода является одним из перспективных направлений математической логики, теории алгоритмов и теоретической кибернетики.

  Представление Д. в виде строчек (линейных последовательностей) формул — не единственно возможное; часто бывает удобнее определять формальные Д. как «деревья» формул, «ветвями» которых служат посылки применений правил вывода. Такая форма Д. оказалась, в частности, удобной для предпринятых в рамках гильбертовской теории доказательств немецким математиком Г. Генценом (1934) исследований логических выводов; в предложенных им модификациях логических исчислений в виде так называемых исчислений «естественного вывода» формальные логические средства ближе по своей структуре к обычным (содержательным) методам умозаключений, нежели в первоначальной гильбертовской схеме. Аксиом в этих исчислениях нет (или совсем мало), но введены дополнительные правила вывода, так что в результате общий «запас теорем», выводимых новыми и прежними средствами, оказывается одним и тем же. Т. о., различие между формальными аксиомами и содержательными правилами оказывается также относительным.

  Последовательная формализация понятия Д. открывает возможность передачи многих «творческих» функций человека электронным вычислительным машинам. Но из этого не следует заключение о возможности сведе'ния всех содержательных аспектов понятия Д. к формальным — правила вывода, хотя они и имеют дело с формальными объектами (формулами), формулируются на содержательном языке, а все проблемы, касающиеся природы формальных исчислений в целом, ставятся и решаются чисто содержательными средствами (см. Метатеория). Именно эти содержательные рассуждения (и содержательные Д.) составляют предмет самой теории Д.