Большая Советская Энциклопедия (ЭЛ)

  Точнее, Э. г. исходит из простейших фигур — точка, отрезок, прямая, угол, плоскость, и основного понятия о равенстве отрезков и углов или вообще о совмещении фигур при наложении, чем определяется их равенство. Кроме того, при строгом аксиоматическом построении Э. г. явно выделяются понятия: «точка лежит на прямой» или «на плоскости», «точка лежит между двумя другими». Предмет Э. г. составляют: 1) фигуры, определяемые конечным числом простейших фигур (как, например, многоугольник определяется конечным числом отрезков, многогранник — конечным числом многоугольников, а стало быть, опять-таки отрезков); 2) фигуры, определённые тем или иным свойством, формулируемым в исходных понятиях (например, эллипс с фокусами А, В есть геометрическое место таких точек X, что сумма отрезков AX и BX равна данному отрезку); 3) фигуры, определённые построением (как, например, конус строится проведением прямых из данной точки О во все точки какой-либо данной окружности, не лежащей с О в одной плоскости, а коническое сечение определяется пересечением конуса плоскостью). Фигура, как бы сложна она ни была, заданная подобным образом, может стать предметом исследования в рамках Э. г. Что касается свойств таких фигур, то Э. г. ограничивается изучением свойств, которые определяются опять-таки на основе указанных простейших понятий. Свойства эти суть прежде всего взаимное расположение фигур, равенство тех или иных элементов фигуры, длина, площадь, объём. Соответственно, определения длины окружности, площади эллипса, объёма шара и т. п. принадлежат Э. г. Однако общие понятия длины, площади и объёма лежат за пределами Э. г., например теорема о том, что среди всех замкнутых кривых данной длины наибольшую площадь ограничивает окружность, хотя и говорит о свойстве окружности, не принадлежит Э. г., т. к. в ней фигурирует понятие длины любой замкнутой кривой и ограничиваемой ею площади. В Э. г. рассматриваются свойства касательной к окружности, можно рассматривать и свойства касательных к эллипсу, гиперболе, параболе, но общее понятие касательной лежит за пределами Э. г. Это логическое различие в общности понятий и степени абстракции вполне отвечает историческому развитию, ибо общие понятия длины, площади, объёма, так же как общее понятие касательной к кривой, были постепенно выработаны только вместе с развитием анализа, а указанная теорема о макс. свойстве окружности была строго доказана только в середине 19 в. Геометрия построения и преобразования, изучаемые в Э. г., определяются опять-таки конкретными геометрическими предписаниями на основе первичных понятий геометрии; таково, например, преобразование обратных радиусов, или инверсия .

  Соответственно предмету Э. г. ограничены и её методы; они заведомо исключают пользование общими понятиями любой фигуры, переменной, функции, исключают ссылки на общие теоремы теории пределов и т. п. Основной метод Э. г. — это вывод теорем путём наглядного рассуждения, основанного либо на исходных посылках — аксиомах, либо на уже известных теоремах Э. г., с применением того или иного вспомогательного построения, не употребляющего общих понятий кривой, тела и др. (например, «продолжим отрезок AB », «разделим угол А пополам»). Привлекаемые в Э. г. вычислительные средства из алгебры и тригонометрии допускают, по существу, сведение к таким построениям. Понятие предела не исключается из Э. г., поскольку оно фигурирует в теоремах о длине окружности, поверхности шара и др., бесспорно включаемых в Э. г. Однако в каждом таком случае речь идет о конкретной последовательности, заданной элементарно-геометрическим построением, и приближении к пределу устанавливается непосредственно, без ссылок на общую теорию пределов. Примером может служить определение длины окружности посредством рассмотрения последовательности вписанных и описанных правильных многоугольников. Подобный прием в принципе возможен для любой данной кривой, но для произвольной кривой вообще ничего подобного сделать нельзя, поскольку «кривая вообще» не задана конкретно. Стало быть, разница между Э. г., вообще элементарной математикой и высшей состоит скорее не в том, что во второй применяется понятие предела, а в первой — нет, а в степени общности этого понятия. Соответственно определению метода Э. г. та или иная теория может принадлежать Э. г. по формулировке, но не по доказательству. Примером может служить теорема Минковского о существовании выпуклого многогранника с данными направлениями и площадями граней (точную формулировку см. в ст. Многогранник ), эта теорема элементарна по формулировке, но известные ее доказательства не элементарны, т. к. используют общие теоремы анализа либо даже топологии.