Большая Советская Энциклопедия (ФУ)

  С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н , свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x , у Î Н называются ортогональными (x ^ y ), если (x , у ) = 0. Для любого x Î Н существует его проекция на произвольное подпространство F — линейное замкнутое подмножество Н , т. е. такой вектор x_F , что x —x_F ^f для любого f Î F . Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н , где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н ортонормированного базиса — последовательности векторов e_j , j Î , из Н таких, что ||e_j || = 1, e_j ^ e_k при j ¹ k , и для любого x Î H справедливо «покоординатное» разложение

x = åx_j e_j (1)

где x_j = (x , e_j ), ||x || = å|x_j |² (для простоты Н предполагается сепарабельным, т. е. в нём существует счётное всюду плотное множество). Если в качестве Н взять L ₂ (0, 2p) и положить , j =...,—1, 0, 1..., то (1) даст разложение функции x (t ) Î L ₂ (0, 2p) в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном. Кроме того, соотношение (1) показывает, что соответствие между Н и l ₂ ' {xj} , j Î  гильбертовых пространств H_j — конструкция, подобная образованию Н одномерными подпространствами, описываемому формулой (1); факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве Х задаётся квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство (x , x ) = 0 для x ¹ 0], часто весьма экзотического характера, и Н строится процедурой пополнения Х относительно (.,.) после предварительного отождествления с 0 векторов x , для которых (x , x ) = 0; тензорное произведение  — образование его аналогично переходу от функций одной переменной f (x₁ ) к функциям многих переменных f (x₁ ,..., x_q ); проективный предел  банаховых пространств — здесь  (грубо говоря), если  для каждого a; индуктивный предел  банаховых пространств X₁ Ì X₂ Ì..., здесь , если все x_j , начиная с некоторого j₀ , лежат в одном X_j0 , и в нём .  Две последние процедуры обычно применяются для построения линейных топологических пространств. Таковы, например, ядерные пространства — проективный предел гильбертовых пространств Н _a , обладающих тем свойством, что для каждого a найдётся b такое, что h _b Ì Н _a , и это — т. н. вложение Гильберта — Шмидта [D () — пример ядерного пространства].

  Разработан важный раздел Ф, а., в котором изучаются пространства с конической структурой «x  0» (полуупорядоченностью). Пример такого пространства — действительное С (Т ), в нём считается x  0, если x (t ³)0 для всех t ÎT .

  3. Операторы (общие понятия). Функционалы. Пусть X , Y — линейные пространства; отображение A : X ® Y называется линейным, если для x , у Î X , l, m Î ,

где x₁ ,..., x_n и (Ax )₁ ,..., (Ax ) _n — координаты векторов x и Ax соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L₂ (а , b ) в него же оператор

     (2)

(где K (t , s ) — ограниченная функция — ядро А ) — непрерывен, в то время как определённый на подпространстве C¹ (a , b ) Ì L₂ (a , b ) оператор дифференцирования

     (3)

является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве).

  Непрерывный оператор A : X ® Y , где X , Y — банаховы пространства, характеризуется тем, что

,

поэтому его называют также ограниченным. Совокупность всех ограниченных операторов  (X , Y ) относительно обычных алгебраических операций образует банахово пространство с нормой ||A ||. Свойства , если  для каждого x Î X ], относительно которой шар, т. е. множество точек x Î Х таких, что ||x || £ r , уже будет компактным (такого эффекта никогда не будет в бесконечномерном пространстве относительно топологии, порождаемой нормой). Это позволяет более детально изучить ряд геометрических вопросов для множеств из X' , например установить структуру произвольного компактного выпуклого множества как замкнутой оболочки своих крайних точек (теорема Крейна — Мильмана).