Большая Советская Энциклопедия (ФУ)

  Пусть  — коммутативная (т. е. xy = ух для любых x , у Î  на М , причём сумме x + y и произведению xy соответствуют сумма и произведение функций. Другими словами, существует гомоморфизм  борелевских подмножеств G , инвариантная справа: для любых В Î , где c(h ) — характер группы G : непрерывная функция на G такая, что |c(h )| = 1 и c(h₁ h₂ ) = c(h₁ )c(h₂ ), d c — мера Хаара на группе характеров , а

,

— обобщённое преобразование Фурье функций f (g ) и k (g ), которое продолжается до изоморфизма L₂ (G , dg ) в L₂ (, dc). Для некоммутативных групп ситуация во многом усложняется. Если G компактна, то представление группы операторов сдвига (или, короче, группы сдвигов) удаётся хорошо описать; в этом случае L₂ (G , dg ) распадается в прямую сумму конечномерных инвариантных относительно сдвигов подпространств. Если G некомпактна, то также получается разложение L₂ (G , dg ) на более простые инвариантные части, но уже не в прямую сумму, а в прямой интеграл.

  Если G = , то теория унитарных представлений может быть сведена к теории самосопряжённых операторов. Именно, однопараметрическая группа унитарных операторов Т ^l , l Î  в гильбертовом пространстве Н допускает представление Т ^l = exp i lA , где А — самосопряжённый оператор (теорема Стоун а); оператор А называется инфинитезимальным оператором (генератором) группы {Т' ^l }. Этот результат находит важные применения в изучении преобразований фазового пространства классической механики. Эта связь, а также приложения в статистической физике лежат в основе обширной ветви Ф. а. — эргодической теории . Связь между однопараметрическими группами преобразований и их генераторами допускает значительные обобщения: операторы T ^l не обязаны быть унитарными, могут действовать в банаховых и более общих пространствах и даже быть определёнными лишь для l ³ 0 (т. н. теория полугрупп операторов). Этот раздел Ф. а. имеет приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными и теории случайных (именно марковских) процессов.

  Лит.: Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа 4 изд., М., 1976; Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; Вулих Б. З., Введение в теорию полуупорядоченных пространств, М., 1961; Банах С. С., Курс функцioнального аналiзу Киïв, 1948; Рисс Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954; Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., 1950; Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, М., 1959; Красносельский М. А., Забрейко П. П., Геометрические методы нелинейного анализа, М., 1975; Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; Рудин У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975; Иосида К., Функциональный анализ, пер, с англ., М., 1967; Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 1—3, М., 1962—74; Хилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962; Эдвардс Р. Э., Функциональный анализ. Теория и приложения пер с англ., М., 1969.

  Ю. М. Березанский, Б. М. Левитан.

Функциональный анализ (хим.)

Функциона'льный ана'лиз (химический), совокупность химических и физических методов анализа (главным образом органических веществ), основанных на определении в молекулах реакционно-способных групп атомов (отдельных атомов) — т. н. функциональных групп. Такими группами являются, например, гидроксильная (—ОН), карбоксильная (), нитрогруппа (—NO₂ ), аминогруппа (—NH₂ ) и др. Ф. а. служит для подтверждения предполагаемого строения вещества или механизма реакции, для установления процентного содержания в смеси отдельных соединений известного строения. В химических методах используются характерные реакции функциональных групп, например образование окрашенного комплекса при взаимодействии спиртов с гексанитратоцератом аммония ROH + (NH₄ )₂ Ce (NO₃ )₆ ® (NH₄ )₂ Ce (OR)(NO₃ )₅ + HNO₃ , восстановление нитрогруппы в аминогруппу, которая легко идентифицируется. Многие функциональные группы могут быть обнаружены и количественно оценены также методами ядерного магнитного резонанса, масс-спектрометрии, инфракрасной (ИК) спектроскопии; например, по специально разработанным диаграммам поглощения ИК излучения функциональными группами (карты Колтгепа) осуществляется идентификация последних, а по интенсивности поглощения производится оценка количественного их содержания.

  Лит.: Бобранский Б., Количественный анализ органических соединений, пер. с польск., М., 1961; Терентьев А. П., Органический анализ. Избр. труды, М., 1966; Черонис Н. Д., Ма Т. С., Микро- и полумикрометоды органического функционального анализа, пер. с англ., М., 1973; Климова В. А., Основные микрометоды анализа органических соединений, М., 1975.

  Ю. А. Клячко.