Большая Советская Энциклопедия (КО)

Корректи'рующий светофи'льтр, цветной светофильтр для исправления (коррекции) цветопередачи при фотопечати (например, посредством фотографического увеличителя ) или копировании (например, посредством кинокопировального аппарата ) цветных позитивных изображений.

Корректные и некорректные задачи

Корре'ктные и некорре'ктные зада'чи, классы математических задач, которые различаются степенью определённости их решений. Многие математические задачи состоят в том, что по исходным данным u ищется решение z. При этом считается, что u и z связаны функциональной зависимостью z = R (u). Задача называется корректной задачей (или корректно поставленной), если выполнены следующие условия (условия корректности): 1) задача имеет решение при любых допустимых исходных данных (существование решения); 2) каждым исходным данным u соответствует только одно решение (однозначность задачи); 3) решение устойчиво.

  Смысл первого условия заключается в том, что среди исходных данных нет противоречащих друг другу условий, что исключало бы возможность решения задачи.

  Второе условие означает, что исходных данных достаточно для однозначной определённости решения задачи. Эти два условия обычно называют условиями математической определённости задачи.

  Третье условие заключается в следующем. Если u₁ и u₂ — два различных набора исходных данных, мера уклонения которых друг от друга достаточно мала, то мера уклонения решений z₁ = R (u₁ ) и z₂ = R (u₂ ) меньше любой наперёд заданной меры точности. При этом предполагается, что в многообразии U = {u} допустимых исходных данных и в многообразии возможных решений Z = {z} установлено понятие меры уклонения (или меры близости) r(u₁ , u₂ ) и r*(z₁ , z₂ ) . Третье условие обычно трактуется как физическая детерминированность задачи. Это объясняется тем, что исходные данные физической задачи, как правило, задаются с некоторой погрешностью; при нарушении же третьего условия как угодно малые возмущения исходных данных могут вызывать большие отклонения в решении.

  Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному условию корректности, называются некорректными задачами (или некорректно поставленными).

  Внимание к корректности задач было привлечено французским математиком Ж. Адамаром в связи с решением краевых задач для уравнений с частными производными. Понятие корректности задач явилось, в частности, поводом для классификации краевых задач таких уравнений.

  Существовало мнение, что некорректные задачи не могут встречаться при решении физических и технических задач и что для некорректных задач невозможно построение приближённого решения в случае отсутствия устойчивости. Расширение средств автоматизации при получении экспериментальных данных привело к большому увеличению объёма таких данных; необходимость установления по ним информации о естественнонаучных объектах потребовала рассмотрения некорректных задач. Развитие электронной вычислительной техники и применение её к решению математических задач изменило точку зрения на возможность построения приближённых решений некорректно поставленных задач.

  Понятия приближённого решения для К. и н. з. существенно различны. В качестве приближённого решения z = R (u) корректной задачи можно брать точное её решение  с приближёнными исходными данными , т. к. для любой точности e приближённого решения корректной задачи в силу третьего условия существует такая точность d(e) исходных данных, что, если , то . Для некорректных задач точное решение с приближёнными исходными данными нельзя принимать в качестве приближённого решения. Однако задание приближённых исходных данных в естественных науках может быть охарактеризовано не только исходным элементом , но и мерой его точности d . Т. о., для определения приближённого решения имеется не только элемент , но и параметр d . Понятие приближённого решения задачи z = R (u) вводится с помощью т. н. параметрического оператора R_d (u), зависящего от параметра d и называемого регуляризирующим (или исправляющим) оператором. Если оператор R_d (u) определён для всех d > 0 и всех , входящих в класс допустимых исходных данных, и если z = R (u), то для любой заданной точности e существует (хотя бы в принципе) такое d(e) , что для любого элемента  решение  уклоняется от z меньше, чем на заданную точность e , т. е. .

  Т. о., приближённое решение некорректной задачи может быть сведено к нахождению регуляризирующего оператора , который определяет устойчивое приближение к z.