Большая Советская Энциклопедия (ЛО)

  Л. л., прообразом которой явилась так называемая гантерова линейка (Gunter's line), была изобретена английским математиком Э. Гантером вскоре после открытия логарифмов и описана им в 1623. Это была логарифмическая шкала (линейка), на которой сложение отрезков производилось с помощью циркуля. В 1630 английский математик У. Отред заменил циркуль второй линейкой (движком). В дальнейшем усовершенствовались лишь детали: в 1650 была осуществлена идея нанесения шкалы по спирали на цилиндрической поверхности; в 30-х гг. 19 в. появился прибор, действующий по принципу линейки Гантера, выполненной в виде часов с вращающимся циферблатом (логарифмическая шкала) и подвижной стрелкой, — прообраз современных круглых Л. л. (рис. 2); в 1850 к Л. л. был добавлен бегунок, что значительно упростило работу с ней; в начале 20 в. для расчётов с повышенной точностью использовались т. н. счётные вальцы (рис. 3) — вид Л. л., шкалы которой нанесены по образующим цилиндрических вальцов; движком служил полый цилиндр с окнами, прорезанными против основных шкал; деление движка нанесено по краям этих прорезей. Современная Л. л. — простой и удобный счётный инструмент; применяется при инженерных и прочих расчётах, когда точность вычислений ограничивается 2—3 знаками (для обычной Л. л. длиной 25 см с m = 250 мм). Л. л. с m = 500—750 мм дают точность 4—5 знаков.

  Лит.: Панов Д. Ю., Счетная линейка, 21 изд., М., 1973.

Рис. 3. Счётные вальцы.

Рис. 2. Круглая логарифмическая линейка.

Рис. 1. Логарифмическая линейка.

Логарифмическая спираль

Логарифми'ческая спира'ль, плоская спиральная кривая (см. Линия).

Логарифмическая функция

Логарифми'ческая фу'нкция, функция, обратная к показательной функции. Л. ф. обозначается

  y = lnx; (1)

  её значение y, соответствующее значению аргумента х, называется натуральным логарифмом числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно

  х = е^у (2)

  (е — неперово число). Т. к. e^y > 0 при любом действительном у, то Л. ф. определена только при х > 0. В более общем смысле Л. ф. называют функцию

  y = log_aX,

  где а > 0 (а ¹ 1) — произвольное основание логарифмов. Однако в математическом анализе особое значение имеет функция InX; функция log_aX приводится к ней по формуле:

  log_ax = MInX,

  где М = 1/In а. Л. ф. — одна из основных элементарных функций; её график (рис. 1) носит название логарифмики. Основные свойства Л. ф. вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов; например, Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению

  Inx+lny = lnxy.

  Для - 1 < х , 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

  ln(1 + x) = x

  Многие интегралы выражаются через Л. ф.; например

  ,

  .

  Л. ф. постоянно встречается в математическом анализе и его приложениях.

  Л. ф. была хорошо известна математикам 17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф., рассматривалась Дж. Непером(1614). Он представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым (рис. 2). Одна из них (У) движется равномерно, исходя из С, а другая (X), начиная движение из А, перемещается со скоростью, пропорциональной её расстоянию до В. Если положить СУ = у, ХВ = х, то, согласно этому определению, dx/dy = - kx, откуда .

  Л. ф. на комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определённой при всех значениях аргумента z ¹ 0 обозначается Lnz. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как

  Inz = In½z½+ i arg z,

  где arg z — аргумент комплексного числа z, носит название главного значения Л. ф. Имеем

  Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...

  Все значения Л. ф. для отрицательных: действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория Л. ф. в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (1749), который исходил из определения

  .

Рис. 1 к ст. Логарифмическая функция.

Рис. 2 к ст. Логарифмическая функция.

Логарифмические таблицы

Логарифми'ческие табли'цы, таблицы логарифмов чисел; применяются для упрощения вычислений. Наиболее распространены таблицы десятичных логарифмов. Т. к. десятичные логарифмы чисел N и 10^kN (при k целом) различаются только характеристиками и имеют одинаковые мантиссы (lg10^kN = k + lg N), то в таблицах десятичных логарифмов приводятся только мантиссы логарифмов целых чисел. Для отыскания характеристики служат правила: 1) характеристика числа, большего 1, на единицу меньше числа цифр в целой части этого числа (так, lg 20 000 = 4,30103) и 2) характеристика десятичной дроби, меньшей 1, равна взятому со знаком минус числу нулей, предшествующих первой в дроби цифре, отличной от нуля (так, lg 0,0002 = - 4,30103, т. о., десятичные логарифмы дробей записываются в виде суммы положительной мантиссы и отрицательной характеристики).