Большая Советская Энциклопедия (ЛО)

  Центральной фигурой этого «алгебро-логического» этапа в истории Л. был Буль. Он разработал свою алгебру Л. (термин «алгебра логики» был введён после Буля Ч. Пирсом) как обычную для того времени алгебру, а не как дедуктивную систему в позднейшем смысле. Не удивительно, что Буль стремился сохранить в своей алгебре Л. все арифметические операции, в том числе вычитание и деление, которые оказалось трудно истолковать логически. Алгебра логики Буля (интерпретировавшаяся прежде всего как логика классов, т. е. объёмов понятий) была значительно упрощена и усовершенствована Джевонсом, отказавшимся в Л. от операций вычитания и деления. У Джевонса мы уже встречаем ту алгебраическую систему, которая впоследствии получила название «булевой алгебры» (у самого Буля, использовавшего в своей алгебре операцию, соответствующую исключающему логическому союзу «или», т. е. строгую дизъюнкцию, а не распространённую в современной Л. «обычную», слабую, дизъюнкцию, «булевой алгебры» непосредственно не было). Строгие методы решения логических уравнений были предложены Шрёдером (1877) и Порецким (1884). Многотомные «Лекции по алгебре логики» (1890—1905) Шрёдера (вместе с работами Порецкого вплоть до 1907) явились высшей точкой развития алгебры Л. 19 в.

  История алгебры Л. началась с попыток перенести в Л. все операции и законы арифметики, но постепенно логики начинали сомневаться не только в правомерности, но и в целесообразности такого переноса. Они выработали специфические именно для Л. операции и законы. Наряду с алгебраическими в Л. издавна применялись геометрические (точнее, графические) методы. Приёмами представления модусов силлогизмов с помощью геометрических фигур владели античные комментаторы Аристотеля. Использование с этой целью кругов, обычно приписываемое Л. Эйлеру, было известно ещё И. К. Штурму (1661) и Лейбницу, владевшему и отличными от эйлеровых методами. Способы геометрической интерпретации предложений Л. имелись у И. Г. Ламберта и Б. Больцано. Но особенного расцвета эти методы достигли в трудах Дж. Венна, разработавшего графический аппарат диаграмм (см. Логические диаграммы.), фактически полностью эквивалентный Л. классов и носящий уже не только иллюстративный, но и эвристический характер.

  К концу 19 в. в дедуктивной Л. произошёл глубокий переворот, связанный с работами Дж. Пеано, Пирса и Г. Фреге, которые преодолели узость чисто алгебраического подхода прежних авторов, осознали значение математической Л. для математиков и начали применять её к вопросам оснований арифметики и теории множеств. Достижения этого периода, в особенности связанные с аксиоматическим построением Л., в наиболее чёткой форме можно проследить в исследованиях Фреге. Начиная со своей работы «Исчисление понятий» (1879), он развил совершенно строгое аксиоматическое построение исчисления высказываний и предикатов. Его формализованная Л. содержала все основные элементы современных логических исчислений: пропозициональные переменные (переменные для высказываний), предметные переменные, кванторы (для которых он ввёл специальные символы) и предикаты; он подчёркивал различие между логическими законами и правилами логического вывода, между переменной и константой, различал (не вводя, правда, особых терминов) язык и метаязык (см. Метатеория, Метаязык). Его исследования (так же как аналогичные работы Пирса) в области логической структуры естественного языка и семантики логических исчислений положили начало проблемам логической семантики. Большой заслугой Фреге явилась разработка системы формализованной арифметики, основанной на развитой им логике предикатов. Эти работы Фреге и выявившиеся в связи с ними трудности послужили исходным пунктом развития современной теории математического доказательства.

  Фреге употреблял оригинальную символику, которая, в отличие от обычно применяемой одномерной, была двумерной (она не привилась). Современная система обозначений в Л. восходит к символике, предложенной Дж. Пеано. С некоторыми изменениями она была воспринята Б. Расселом, создавшим совместно с А. Н. Уайтхедом трёхтомный труд «Принципы математики» — труд, систематизировавший и развивший далее дедуктивно-аксиоматическое построение Л. в целях логического обоснования математического анализа (см. Логицизм).

  С этого сочинения и начавших появляться с 1904 работ Д. Гильберта по математической Л. естественно датировать начало современного этапа логических исследований.

  М. М. Новосёлов, 3. А. Кузичева, Б. В. Бирюков.