Большая Советская Энциклопедия (МА)

Математи'ческая картогра'фия , картографическая дисциплина, изучающая теорию картографических проекций , преобразований их, методы изыскания проекций и способы рационального применения их на практике. Иногда в М. к. включают весь комплекс вопросов, относящихся к математическому обоснованию карт (компоновка карт, расчёт рамок и др.), а также способы и средства измерений на картах (см. Картометрия ). М. к. тесно связана с математикой, геодезией, со всеми картографическими и другими дисциплинами. На первых этапах (6 век до н. э. — 17 век н. э.) развития М. к. изобретались, исследовались и использовались отдельные картографические проекции, затем (18 век — начало 20 века) изучались также отдельные классы проекций и другие совокупности их. С середины 20 века успешно развивается теория создания новых методов получения различных (зачастую новых) классов или групп проекций, а также теория преобразований их. Методы современной М. к. механизируются и автоматизируются, в частности используются ЭВМ для различных целей.

  В М. к. различают прямую и обратную задачи. Прямая задача М. к. — исследование свойств картографических проекций, заданных уравнениями вида

  x = f₁ (j, l), y = f₂ (j, l),   (1)

где (j и l — широта и долгота точки на земном эллипсоиде . Эта задача решается формулами теории искажений. Обратная задача М. к. имеет целью восстановление уравнений (1), или, более обще, нахождение проекций по заданным в них распределениям искажений. В процессе исторического развития М. к. использовались различные методы построения проекций: геометрические, аналитические, графоаналитические и другие, применимые, однако, к получению отдельных проекций или довольно узких совокупностей их. Общий метод изыскания проекций, дающих в то же время решение обратной задачи М. к., следует из системы Эйлера — Урмаева

     (2)

где m и n — масштабы по меридианам и параллелям, e — угол между их изображениями, g — сближение меридианов. Это — система двух квазилинейных уравнений с частными производными 1-го порядка (например,  и т. п.). Она недоопределенная: уравнений — два, функций — четыре. Различные способы доопределения системы (2), выполняемые на основе априорного задания, нужного для практики размещения искажений, позволяют исследовать всевозможные классы проекций. С точки зрения анализа система (2) даёт необходимые и достаточные условия существования проекции с заданными в них распределениями искажений. Систему (2), формулы теории искажений и некоторые их модификации относят к основным уравнениям М. к. При изысканиях новых проекций широко применяют методы численного анализа, теорию конформных и квазиконформных отображений, вариационное исчисление и др.

  Система (2) приводит к генетической классификации картографических проекций, являющейся наиболее полной из всех классификаций и объемлющей известные и все мыслимые проекции. В её основе лежит понятие класса проекций как такой совокупности их, которая [после доопределения системы (2) уравнениями проекций в характеристиках] описывается определённой системой двух дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка; например, класс конформных проекций, класс проекций Эйлера и другие. Системы классов проекций могут быть эллиптических, гиперболических и других типов, в соответствии с чем и проекции, ими описываемые, относятся к указанным типам, что имеет фундаментальное значение при изыскании проекций конкретных классов, проявляющееся в априорном предсказании некоторых свойств новых проекций. Таким образом, М. к. — это своеобразный «арсенал» картографической науки и картографического производства, в специальных «рубриках» которого находятся определённые классы и другие совокупности картографических проекций. Для конкретного производственного задания оттуда может быть взята нужная проекция (или изыскана новая).