Большая Советская Энциклопедия (НЬ)

  Коэффициенты формулы (или разложения) Н. б. называют биномиальными коэффициентами; коэффициент при a^n-kb^k обозначается так:  или . Последнее обозначение связано с комбинаторикой: есть число сочетаний из n различных между собой элементов, взятых по k. Биномиальные коэффициенты обладают многими замечательными свойствами: все они целые положительные числа; крайние коэффициенты равны единице; коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, одинаковы; коэффициенты возрастают от краев к середине; сумма всех коэффициентов равна 2ⁿ. Особенно важное значение имеет следующее свойство: сумма двух соседних коэффициентов в разложении (а + b) ⁿ равна определённому коэффициенту в разложении (а + b) ⁿ⁺¹; например, суммы 1+3, 3+3, 3+1 соседних коэффициентов в формуле для (а + b)³ дают коэффициенты 4, 6 и 4 в формуле для (а + b)⁴. Вообще:

 

  Пользуясь этим свойством, можно, отправляясь от известных коэффициентов для (а + b)1, получить путём сложения биномиальные коэффициенты для любого n. Выкладки располагают в виде таблицы (см. Арифметический треугольник).

  Формула Н. б. для целых положительных показателей была известна задолго до И. Ньютона; но им была указана (1676) возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя (хотя строгое обоснование этого было дано лишь Н. Абелем, 1826). В этом более общем случае формула Н. б. начинается так же, как формула (1); коэффициентом при a^n-kb^k служит выражение , которое, в случае целого положительного п, обращается в нуль при всяком k > п, вследствие чего формула (1) содержит лишь конечное число членов. В случае же дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, и правая часть формулы содержит бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Если ^eb^e < ^eа^e, то этот ряд сходится, т. е., взяв достаточно большое число его членов, можно получить величину, сколь угодно близкую к (а + b) ⁿ (см. Ряд). Формула Н. б. играет важную роль во многих областях математики (алгебре, теории чисел и др.).

Ньютона закон тяготения

Нью'тона зако'н тяготе'ния, закон всемирного тяготения, один из универсальных законов природы; согласно Н. з. т. все материальные тела притягивают друг друга, причём величина силы тяготения не зависит от физических и химических свойств тел, от состояния их движения, от свойств среды, где находятся тела. На Земле тяготение проявляется прежде всего в существовании силы тяжести, являющейся результатом притяжения всякого материального тела Землёй. С этим связан термин «гравитация» (от лат. gravitas — тяжесть), эквивалентный термину «тяготение».

  Н. з. т., открытый в 17 в. И. Ньютоном, формулируется следующим образом. Каждые две материальные частицы притягивают друг друга с силой F, прямо пропорциональной их массам m₁ и m₂и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними:

; (1)

  сила F направлена вдоль прямой, соединяющей эти частицы. Коэффициент пропорциональности G — постоянная величина, наз. гравитационной постоянной в системе СГС G » 6,7·10^-8динxсмxг^-2. Под «частицами» здесь подразумеваются тела, размеры которых пренебрежимо малы по сравнению с расстояниями между ними, т. е. материальные точки. Н. з. т. можно интерпретировать иначе, полагая, что каждая материальная точка с массой m₁ создаёт вокруг себя поле тяготения (гравитационное поле), в котором любая другая свободная материальная точка, находящаяся на расстоянии r от центра поля, приобретает ускорение, не зависящее от своей массы, равное

   (2)

  и направленное к центру поля.

  Силы тяготения (и гравитационные поля) отдельных интегральных частиц обладают свойством аддитивности, т. е. сила, действующая на некоторую частицу со стороны нескольких др. частиц, равна геометрической сумме сил, действующих со стороны каждой частицы. Из этого следует, что тяготение между реальными материальными телами, с учётом их размеров, формы и распределения плотности вещества, можно определить, вычислив сумму сил тяготения (учитывающую направление составляющих сил) отдельных малых частиц, на которые можно мысленно разбить тела. Таким путём установлено, что шарообразное тело (однородное или со сферическим распределением плотности вещества) притягивает точно так же, как материальная точка, если расстояние r измеряется от центра шара.