Большая Советская Энциклопедия (НА)

Наибо'льший о'бщий дели'тель двух или нескольких натуральных чисел — наибольшее из чисел, на которые делится каждое из данных чисел. Например, Н. о. д. 45 и 72 есть 9, Н. о. д. 60, 84, 96 и 120 есть 12. Н. о. д. пользуются при сокращении дробей: наибольшее число, на которое могут быть сокращены числитель и знаменатель дроби, — их Н. о. д. Если известны разложения заданных чисел на простые множители, то для получения Н. о. д. этих чисел нужно составить произведение тех множителей, которые входят одновременно во все разложения, взяв каждый наименьшее число раз, какое он встречается. Так, 60 = 2×2×3×5, 72 = 2×2×2×3×3 и 252 = 2×2×3×3×7; поэтому Н. о. д. 60, 72 и 252 есть 2×2×З = 12. Общим приёмом отыскания Н. о. д. двух чисел является способ последовательного деления, указанный ещё в 3 в. до н. э. Евклидом (Евклида алгоритм ). Он заключается в том, что большее из двух данных чисел делят на меньшее, затем меньшее — на остаток от первого деления, остаток от первого деления — на остаток от второго деления и т.д., до тех пор, пока не дойдут до остатка, равного нулю. Последний, отличный от нуля, остаток и будет Н. о. д. данных чисел. Например, чтобы найти Н. о. д. 3542 и 2464, выполняют последовательные деления: 3542 = 2464×1 + 1078, 2464 = 1078×2 + 308, 1078 = 308×3 + 154, 308 = 154×2. В остатке при последнем делении — нуль; следовательно, Н. о. д. 3542 и 2464 равен предпоследнему остатку, то есть 154. Если Н. о. д. двух чисел равен единице, то эти числа называют взаимно простыми. Н. о. д. d двух чисел а и b и наименьшее общее кратное m этих чисел связаны соотношением dm = ab .

  Понятие Н. о. д. применимо не только к числам. Так, например, Н. о. д. двух или нескольких многочленов есть многочлен наивысшей степени, на который делится каждый из данных. Для нахождения Н. о. д. многочленов применяются приёмы, совершенно аналогичные указанным выше для чисел (в частности, алгоритм Евклида).

Наигрыш

На'игрыш, народная инструментальная мелодия, большей частью танцевальная; порой и мелодия с сопровождением (Н. гармоники).

Наилучшее приближение

Наилу'чшее приближе'ние, важное понятие теории приближения функций. Пусть f (x ) — произвольная непрерывная функция, заданная на некотором отрезке [а, b ], a j₁ (x ), j₂ (x ),..., j_n (x ) — фиксированная система непрерывных функций на том же отрезке. Тогда максимум выражения:

  |f (x ) — a₁ j₁ (x ) - a₂ j₂ (x ) -... - a_n j_n (x )|     (*)

на отрезке [а, b ] называется уклонением функции f (x ) от полинома

  P_n (x ) = a₁ j₁ (x ) + a₂ j₂ (x ) +... + a_n j_n (x ),

а минимум уклонения для всевозможных полиномов P_n (x ) (т. е. при всевозможных наборах коэффициентов a ₁ , a ₂ ,..., a_n ) — наилучшим приближением функции f (x ) посредством системы j₁ (x ), j₂ (x ),..., j_n (x ); Н. п. обозначают через E_n (f , j). Таким образом, Н. п. является минимумом максимума или, как говорят, минимаксом.

Полином P*_n (x , f ), для которого уклонение от функции f (x ) равно Н. п. (такой полином всегда существует), называется полиномом, наименее уклоняющимся от функции f (x ) (на отрезке [а , b ]).

  Понятия Н. п. и полинома, наименее уклоняющегося от функции f (x ), были впервые введены П. Л. Чебышевым (1854) в связи с исследованиями по теории механизмов. Можно также рассматривать Н. п., когда под уклонением функции f (x ) от полинома P_n (x ) понимается не максимум выражения (*), а, например,

См. Приближение и интерполирование функций .

Наименьшего действия принцип

Наиме'ньшего де'йствия при'нцип, один из вариационных принципов механики , согласно которому для данного класса сравниваемых друг с другом движений механической системы действительным является то, для которого физическая величина, называемая действием , имеет минимум (точнее, экстремум). Обычно Н. д. п. применяется в одной из двух форм.

  а) Н. д. п. в форме Гамильтона — Остроградского устанавливает, что среди всех кинематически возможных перемещений системы из одной конфигурации в другую (близкую к первой), совершаемых за один и тот же промежуток времени, действительным является то, для которого действие по Гамильтону S будет наименьшим. Математическое выражение Н. д. п. имеет в этом случае вид: dS = 0, где d — символ неполной (изохронной) вариации.